2020年福建泉州九下质检压轴试题(含填选共4道）解析

依题意，知：原抛物线的开口向上，对称轴为直线x=a，结合图象知：与抛物线的对称轴的距离越大，对应的函数值也越大，而点A、B、C与对称轴的距离分别为|a-m-a|=|m|、|a-n-a|=|n|和|a+b-a|=|b|.又0<m<b<n，得|m|＜|b|＜|n|，对应的y₁<y₃<y₂.故答案应选B.

第16题（双曲线与矩形）

【泉州质检】如图，四边形ABCO为矩形，点A在反比例函数y=4/x(x>0)的图象上，点C在反比例函数y=-1/x(x<0)的图象上，若点B在y轴上，则点A的坐标为______.

【图文解析】如下图解：

由tan∠1＝tan∠2，得

得m⁴=4,得m²=2.因m>0，所以m=√2.得4/m=2√2.所以点A的坐标为（√2,2√2）.

第24题（圆与旋转，相似、三角函数）

【泉州质检】如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为弧BDC上任意一点，若AE＝AC＝2 n，BC＝n²-1，BE＝n²-2n+1.（n≥2，且n为正整数）

（1）求证：∠CAE+∠CDE＝90°；
（2）如图2，当CD过圆心O时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF.请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若n=3，求AD的长.

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【图文解析】（1）因AB＝AE+BE＝n²+1，而AB²-BC²＝(n²+1)²-(n²-1)²=4n²=AC²，所以△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，所以∠CAD+∠ABC＝90°，进一步，得∠CAE+∠CDE＝90°.如下图示：

（2）①如下图示：

由旋转的性质，得∠ACD＝∠AEF.另一方面，根据四边形内角和为180°，结合（1）的结论∠CAE+∠CDE＝90°，得∠ACD+∠AED＝360°-90°＝270°，进一步，得∠AEF+∠AED＝270°，所以∠DEF＝90°.即△DEF为直角三角形.如下图示：

由勾股定理，得
CD²+DE²＝EF²+DE²＝DF².②当n=3时，AC＝AE＝6，BC＝8，AB＝10.BE＝4.过C点作CH⊥AB于点H，根据三角形的面积公式，得CH＝AC×BC/AB＝24/5，由勾股定理，得AH＝18/5，得EH＝6-18/5＝12/5.在Rt△CEH中，再利用勾股定理，得CE＝12√5/5.如下图示：

又tan∠CAH＝BC/AC＝4/3，
cos∠CAH＝AC/AB＝3/5.结合（1）的结论，可得∠CAH＝∠DCE.所以DE＝CEtan∠DCE＝CEtan∠CAH＝16√5/5.CD＝CE/cos∠DCE＝CE/cos∠CAH＝4√5.

法一：由上述，得tan∠DCE＝DE/CE=tan∠CAE＝BC/AC＝4/3. 如下图示：

在Rt△ADG中，由勾股定理，得
AD＝…＝2√41.法二：如下图示（AD＝AF）.分别在直角三角形APE和APF，由勾股定理，直接求解，其中EF＝CD，EP＝0.5CE.……

法三：如下图示，由DE和EF(＝CD),根据勾股定理计算出DF,再通过△ACE与△ADF相似（均为等腰三角形，且顶角相等），可得AC/CE＝AD/DF，相关数据代入，即可求得.

法四：如下图解

第25题（抛物线、对称与路径最值）

【泉州质检】如图，抛物线y=ax²-2ax+c与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，点（1/2，-3a/4-3）在抛物线上.（1）求c的值；（2）已知点D与C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD＝DE，①求抛物线所对应的函数表达式；②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称于点F，以点C为圆心，以√5的长为半径作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求√5/5TB+TF的最小值.

【图文解析】

（1）简解：直接点C的坐标，代入抛物线的解析式，得-3a/4-3=a(1/2)²-2a×1/2+c.解得c=-3.（2）由（1）知：抛物线为y=ax²-2ax-3.①设B（m，0），如下图示，易求得E(-m，6).

法一：分别将点B和E的坐标代入抛物线解析式，

两方程相减，得-4am=-6

得am=3/2.代入第一个方程（即为am(m-2)-3=0）得3/2（m-2）-3=0，解得m=4.进一步，得a=3/2×1/4＝3/8.所以抛物线解析式为y=3x²/8-3x /4-3.法二：设E(m，0).直线BE为y=kx+3.将点E坐标代入，得km+3=0，得3=-km.所以直线为y=kx-km=k(x-m)……①抛物线解析式可配方为y=a(x-1)²-a-3.将点B坐标代入，得a(m-1)²-a-3=0.得-a-3=-a(m-1)².得y=a(x-1)²-a(m-1)².因式分解，得抛物线为y=a(x-m)(x+m-2)……②联立①和②，得a(x-m)(x+m-2)＝k(x-m).移项，并因式分解，得(x-m)[a(x+m-2)-k]=0.解得x₁=m，x₂=k/a-m+2.依题意，得x₁+x₂=0.得m+k/a-m+2=0.得k/a=-2.即k=-2a.将k=-2a，代入3=-km，得m=3/(2a).再将上式代入-a-3=-a(m-1)².得-a-3=-a[3/(2a)-1].解得a=3/8.……②如下图示，易求得如下图所示的结论：

在BC上取点G，使CG：CT＝√5：5.连接TG和TC，如下图示，易求得TC：BC＝√5：5.

进一步，可证△TCG∽△BCT，
得TG/TB＝CG/CT＝√5/5.得TG＝√5/5TB.所以√5/5TB+TF＝TG+TF.如下图示：

当点C、T、F三点共线时，TG+TF最小，即√5/5TB+TF＝TG+TF≥GF.
由点C（0，-3）和F（1，4）（此句删除），根据勾股定理，可求得GF＝√41.综上，√5/5TB+TF的最小值为√41.说明：本题是属于“路径最值问题中的点在圆（弧）上运动问题”（即网络上流行的“阿氏圆”问题），本公众号已有多篇文章分析，但为了不无畏增加相关名词，人为的加大难度，并摆脱模型套路的束缚，文章中并没出现“阿氏圆”名称。关注公众号，点击搜索，进入“搜索”栏后，输入“最值”即可找到相关文章.注：如果想获取原试题与原答案和本文课件，请关注公众号后，发送“2020九下泉州质检”，即可获得下载地址.觉得作者辛苦，右下角点个在看吧

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