【中考冲刺】(2020版)中难强化提升组合训练(9)——(含填选共4道压轴)

【试题1】如图，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=－2，与x轴的一个交点在(－3，0)和在(－4，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a－b＝0；②c<0；③－3a+c>0；④4a－2b＞at²+bt(t为实数)；⑤点(－4.5，y₁)，(－2.5，y₂)，(－0.5，y₃)是该抛物线上的点，则y₁< y₂<y₃，正确的个数有（）.

A．4个 B．3个
C．2个 D．1个

第2题（矩形与旋转）

【试题2】如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B’C’交CD边于点．连接BB’、CC’，若AD=7，CG=4，AB’= B’G，则CC’/BB’= ________（结果保留根号）．

【反思】在处理旋转角问题时，我们往往只重视旋转是全等变换，而忽略了由旋转所产生的相似，如果这个问题改变为不再有很强的提示性的问题：求CC’的长度，这就对我们提出了更高的要求，需要我们对旋转角度时相应产生相似的这个基本认识更加熟悉才能更快地找到解决问题的关键.

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第3题（平行四边形与旋转）

【试题3】平面内，如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=4/3.

点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．(1)当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；(2)当tan∠ABP:tanA=3:2时，求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；(3)若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留π)．

（2）连接BQ，如下图示.由已知条件“将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ”可知△PBQ为等腰直角三角形，得BQ＝根号2×PB，只需求出PB的长即可.

借助Rt△，将条件“tan∠ABP:tanA=3:2”，可添加如下辅助线：

在Rt△BPH中，tan∠ABP＝PH/BH；
在Rt△APH中，tanA=PH/AH；又tan∠ABP:tanA=3:2所以AH：BH＝3：2.又AB＝10，可得AH＝10×3/5=6，BH＝10×2/5=4.在Rt△APH中，tanA=PH/AH=PH/6＝4/3,可得PH＝8.在Rt△BPH中，由勾股定理得：

（3）分三种情况：①当P点落在边AD上时，如下图示：

由tanA=4/3，可设PB＝4t，PA＝3t
由勾股定理，得：AB＝5t=10，所以PB＝8.所求的面积为：

②当P点落在边CD上时，如下图示：

由∠BPQ＝90°，且BP＝PQ，联想到常用辅助线（K型），并设元（常用，能使计算带来方便），于是：

再由PA＋PD＝AD＝15得：

反思：典型的“分类讨论和基本图形”变式模型所构成的动态试题，解题显然最基本的常见方法和技巧。

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第4题（二次函数与对称、最值）

【试题4】已知抛物线y=x²+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P’．①当点P’落在该抛物线上时，求m的值；②当点P’落在第二象限内，P’A²取得最小值时，求m的值．

图文解析（1）常规题，不做详解，简析如下：把点A（－1，0）代入抛物线的解析式y=x²+bx－3，得0=1－b－3，解得b＝－2，所以所求的解析式为y=x²－2x－3，通过配方得到y=(x－1)²－4，得到顶点坐标为（1，－4）.（2）题干分析：由条件“P(m，t)为抛物线上的一个动点”可得到m与t的关系为:t=m²－2m－3（函数的本质），动点的位置不同体现m值的变化；
由条件“P关于原点的对称点为P'”可得P’的坐标可表示为 (－m，－t).
①由条件“当点P' 落在该抛物线上时”可知：点P'的坐标(－m，－t)满足该抛物线的解析式（函数的“灵魂”），即－t =(－m）²－2(－m)－3，整理得：－t=m²+2m－3. 结合题干得到的结论（t=m²－2m－3）和①的分析得到的结论（－t=m²+2m－3），将两等式相加，可得：2m²－6＝0即m²＝3，解得

②由“当点P' 落在第二象限内”知:P' (－m，－t)的坐标应满足－m＜0且－t>0，即m>0,t<0.同时由于抛物线开口向上，顶点坐标为（1，－4），所以t＞－4，因此－4≤t＜0.

反思：在函数背景下，求最值相关问题经常通过建立函数模型，转化函数相关的最值问题.

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