2020年福建南平九下质检第24题（倒二压轴—等腰三角形与圆）试题解析

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第24题（等腰三角形与圆）

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【南平二检】在锐角△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交边 BC，AC于点D，E，AF⊥DE于点F.（1）求证：∠EDC=2∠CAF；（2）若AB=BC，判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若cos∠ADE＝24/25，求AB/BC的值.

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或
（2）当AB=BC时，△ABC为等边三角形，如下图示：
结合（1）中的相关结论，进一步，可得∠BAF＝90°，即AF⊥OA，又点A在⊙O上，所以AF为⊙O的切线.
（3）法一：如下图示：得AB：BC＝…＝5/6.法二：如下图示：在Rt△ADE中，AD＝DF/cos∠ADE=32t×25/24＝100t/3，进一步，得AH＝28t/3.
在Rt△AHE中，由勾股定理，得AE＝35t/3，进一步，得sin∠HAE＝HE/AE＝…＝3/5.如下图示：在Rt△ACD中，由sin∠HAE＝CD/AC＝3/5.
即0.5BC/AC＝35，得BC/AC＝6/5.所以AC/BC＝5/6.
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