“数学写作——实战篇”教学设计和思考

本文发表于《中学数学杂志》2019年第11期

人大复印资料《高中数学教与学》2020年第1期转载

编者按：学生数学写作写点什么？主要是学生在学习数学过程所思、所得，并用数学语言表述出来。两位老师的实践给我们许多启示。 

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

   欢迎朋友们来稿！来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式。特别欢迎原创文章。只接受word版式的电子稿，文责自负。投稿邮箱：      [e-mail]

仓万林，男，江苏省江阴市要塞中学，中学数学高级教师，“数学写作”学校联盟秘书长，著有《数学文化行动研究的实践和思考》等，主要研究方向：数学文化和数学写作。

李 红，女，江苏省江阴市要塞中学，中学数学一级教师，江阴市教学新秀，江苏省数学文化素质教育资源库研发基地核心成员，何志奇名师工作室成员，新青年数学教师工作室成员，中国教育学会“中青创奥”教练员。

“数学写作——实战篇”教学设计和思考

 江苏省江阴市要塞中学（214432）  仓万林  李红

2018年12月15日，“数学写作”学校联盟学术年会在江苏省泰州中学进行，本次年会联合江苏省高中数学课程基地联盟进行，来自全国十多个省份的高校、中小学、出版社等单位的100多位数学教育工作者参加了本次活动.江苏省教科院基础教育研究所所长、江苏省教育厅基础教育课程基地建设指导中心负责人倪娟博士，华东师范大学教师教育学院副院长汪晓勤教授等莅临指导.倪娟所长结合今天的活动展示，高度评价了“数学写作”学校联盟的活动，指出“重视写作、重视表达”是核心素养为中心的基本要求，体现了学科之间的融合，是“数学写作”学校联盟和课程基地等活动的一个有前瞻性的方向.

在“数学写作”学校联盟教学研讨中，“数学写作”学校联盟秘书长仓万林老师进行了“数学写作——实战篇”的教学展示，围绕数学写作中的关键环节：列提纲和作品修改进行了具体指导，并和同学们进行了互动交流.受到了听课老师和专家的一致好评，下面呈现本节课的教学设计及其对于本节课的思考，恳请各位同行和专家批评指正．

一、教学设计

1.教学引人

最近在读网易云音乐APP推出的一本时尚小书《听什么歌都像在唱自己》，两百多页的册子中每页上面只有几十到百余字网友听歌的感受.我发现在简单而又感性的文字中，有些体会对我们的教和学有不少启发：我们在教和学的过程中，许多时候，有不少词不达意的现象，比如以高中数学中的核心概念“函数”为例，其实它就有多个侧面或维度：历史发展过程中形成的函数的概念；我们在多年学习后认识到的函数的概念；在解决问题中，同学们所表达出来的函数的概念.其中差异还是很大的.认清了这点，或许可以更好地帮助我们理解数学，理解学生，理解教学 ^[1].

新加坡著名数学家李秉彝先生关于“答案、过程、表达”三者关系的论述：“首先，为什么答案是重要的？假如你在造一栋住宅，竣工后，房子塌了，你愿意因为仅仅是过程正确而向建造商支付报酬吗？其次，为什么过程是重要的？你可以在过程做错的情况下，得到正确的答案，但我不肯定你下次还会那么幸运．第三，为什么表达是重要的？如果你说得很好，你可以通过一扇门，我是说，你可以把所要表达的意思传递给门后的那个人，如果你写得很好，你至少可以通过三扇门，我是说，你可以把所要表达的意思传递给你老板的老板的老板，只有完美的表达才可以传递得更远．” ^[2]

设计意图：从最近阅读的感受和数学家对数学表达等的看法，自然引入写作的主题，阅读是写作的基础，引导同学们有悟性地理解阅读，学会阅读.

2.不同类型的数学写作提纲点评或修改建议

2.1  案例1：吕荣杰同学的提纲《勾股定理》

第一段：画出直角三角形的勾股图，勾3股4弦5，较直观地引出中心：勾股定理.

第二段：具体讲述勾股定理在日常生活中的应用.

第三段：讲述我国古代数学家对勾股定理的证明，顺便提及我国古代数学成就《九章算术》.

第四段：讲述古代西方数学家毕达哥拉斯对勾股定理的证明及其背景故事，对毕达哥拉斯进行人物评价.

第五段：讲述现代社会中勾股定理的日常应用.

第六段：概括勾股定理在数学中坚固的基石作用.

第七段：由勾股定理引申到数学对人、对事、对社会活动的影响，表现数学的魔力.

请同学谈自己的提纲并进行师生互动.

点评和修改建议：勾股定理在人们心目中的地位有时几乎就是“数学”的代名词，针对此经典内容，建议作如下补充或调整：

(1)第一段由3、4、5组成的勾股图，引出勾股定理，顺便可以补充一下东、西方数学传统的差异，从定理名称上已有体现，东方重视应用和西方关注演绎证明的不同脉络，这在许多数学史或者数学文化资料中可以查到.

(2)第三、四段的内容可以合并为一段.勾股定理的证明方法已经非常多了，作为赏析介绍其中部分有名的证法也可以，比如美国第20任总统加菲尔德的证法.为增强趣味性，也可以讲一下勾股定理证明历史上英国牧师Henry Perigal的故事.他在30岁时发现了勾股定理的新的证明方法，在离世之前告诉儿子，将自己关于定理证明的图示刻在墓碑上.牧师要用自己的数学成绩在上帝面前做一次“土豪”. 牧师的证明也是风车证明的一种形式，如图1，体现出东西方对于数学文化的一种认同，数学文化没有国界.

(3)其余段落的内容可以总结为勾股定理的应用，古今中外的可以合并为一个整体来处理.

设计意图：本提纲选材是属于数学文化与科普类型的.这类题材由于通俗易懂，同时又有启发性，往往对吸引同学参与数学写作活动有很大作用.启发同学们在这类文章的写作中，合理选材，整合素材，同时注意写作角度的新颖，对经典问题的解读，相信我们现代的中学生会有好的视角和文笔.

2.2 案例2：许嘉祺同学的提纲《错过》

第一部分：简述“错过”的具体含义.

第二部分：函数部分易错题罗列.（1）确定函数解析式时，忽略定义域.（2）抽象函数定义域理解不透彻.（3）判断函数奇偶性时，忽略定义域.（4）混淆单调区间和在区间上单调.（5）忽略对参数的讨论.（6）函数零点考虑不全.（7）实际问题中，忽略定义域的实际意义.

再选取其中典型题型及错解、正解来剖析.

第三部分：简要介绍自己及其他同学处理错题的方法.

请同学谈自己的提纲并进行师生互动.

点评及修改建议：

(1)文章的题目是一个亮点，显然很吸引眼球，有意的“错过”和不经意间的“错过”，无论在学习中，还是生活中的都是珍贵的记忆.具体含义的阐述如果没有特别的新意，不必过分叙述，点到为止.

(2)第二段中函数部分的常见错误，大部分是比较典型的，但显然比较杂乱了，这其中的部分错过的知识点，不妨单独成文.比如函数中的定义域常见问题进行梳理和分析，多项式型函数、无理式型函数、分式型函数，判断奇偶性时忽略定义域，抽象型函数的定义域可以作为备用材料来处理，这样的文章还是很有启发价值的.

另外原来提纲中选题的点：忽略对参数的讨论和函数零点问题等，这些实际上也是很好的选题，完全可以单独成文.

(3)介绍自己或其他同学处理错题的方法，要看最后的内容有无新意，如果做不到这一点完全可以省略.

设计意图：本提纲围绕解题体会或者研究展开选题，粗看，已经是一个比较合理的提纲了，符合初学者的实际情况，也很有代表性.因此指导的重点放在了内容的梳理和取舍上，在选好合理的提纲后，再配上合适对应的例题，文章的雏形也就有了，不求全面，让同学们有跃跃欲试的想法也是很重要的.

作为参照，我们不妨再看另一位同学的解题研究型的提纲.

2.3 案例3：孙雨馨同学的提纲《京剧中的变脸戏法》

第一部分：入门菜鸟.

(1)文章由京剧中的变脸（建议改成川剧，尽管京剧中也有变脸），联想到函数性质中的变化，很有创意.列出来的四个小标题：入门菜鸟、初出茅庐、熟能生巧、小有成就，有渐入佳境之感.

(2)整个提纲中的选材，聚焦了函数的性质:单调性和奇偶性,并由此展开分析.作为系列问题,建议在选配题目上更加注重典型性，最好部分问题在适度变化上有所联系，体现循序渐进的特征.部分问题的解答过程中，可以结合函数的图象进行，有助于理解问题中函数的性质.

设计意图：这一篇文章的提纲，在质量上要比前一个要高得多，也是在简单指导后，部分同学可以达到的水准.指导的中心放在小标题的斟酌和例题的选配上，实际上，这两个环节做好后，一篇较高质量的学生小论文也就指日可待了.

考虑到数学建模型等其他类型特点和时间关系，不再单独点评.

3.数学写作初稿的修改

考虑到文章篇幅，没有全文收录，给出文章大致脉络.

案例4：朱霖雨同学的初稿《优美的周期函数》

纵观高中数学，周期函数是较为优美的一种图形（这句话有语病，可以修改为：周期函数的图象是一种较为优美的图形），他们周而复始，起伏连落，看似简单，但却暗藏玄机.有时选的路径正确则一步登天；若选的路径不对，则任你在迷宫中绕上个一天半载，也是出不来的，因此我们需要掌握一些有关规律，以便于下次在解题时能准确，毫不费力地走到终点.（一步登天，一般含有贬义，词不达意，整个语句可以再好好推敲一下，尽量少口语化的表达形式）

根据以上的证明，可见证明过程之间是相通的，要学会抓住题型特点，上下联系，寻找关联.

熟练掌握关于抽象周期函数的有关规律，就能在解题的迷宫中寻找出最短路径，节约解题时间.

请同学谈自己的提纲并进行师生互动.

点评和修改建议：

(1)初稿中的部分语言的问题已经在文章中标注了.

(2)本文从函数性质中的周期性出发，讨论了常见类型的周期性问题的一些有实际解题应用价值的二次结论，属于解题梳理研究方向的数学写作.小作者还是下了很大功夫的，在结论的证明过程中，始终紧扣整体性，把握证明的方向，是值得肯定的地方.

(3)对关于函数周期性的六个常用结论，可以适当归类整合，调整结构，详略得当，选择其中两至三个给出详细证明.

(4)考虑到学以致用的原则，建议选配三到四个例题，也可以选择部分高考题，这样更有吸引力.

最后建议可以根据篇幅，选配一则思考题，隐含周期性的函数综合应用问题，挑战性有所提升.

设计意图：这篇初稿的选题还是不错的，每条结论的证明也很规范，也是同学们在初学数学写作时经常选的类型，本着学以致用的原则，引导其合理区分重点和难点，再辅以合适的例题，就是一篇有借鉴价值的解题研究类型的数学小论文了.

4  课堂小结

本节课边叙边议，和同学们一起从身边同学的案例出发，讲述了数学写作中提纲的调整和初稿的修改的实战过程，可能相较于以往的范文解读和欣赏类型的展示课，本节课略显枯燥，但到了这个阶段后，就是数学写作活动中最见功底，也是最艰苦的阶段了，或许这也再次吻合了本节课的主题——实战篇.

设计意图：简单小结本节课内容，再次点出课题.

二、教学设计说明和教学反思

1.教学设计说明

本课可以看成2017年5月5日“数学写作”学校联盟成立仪式暨教学研究研讨会上“数学写作指导1” ^[3]、2018年9月15日“数学写作”教学研讨会上“解题研究型数学写作指导”的姐妹篇 ^[4]，围绕的主题仍然是“进入课堂的数学写作”，之所以将课题选定为实战篇，主要基于以下几点考虑：

在前期数学写作的一般流程介绍和某种特定类型题材的写作指导后，如何就写作活动中最为困难和难以把握的提纲修改和文章初稿修改也就摆在了眼前.这是我们在数学写作活动中许多老师感到棘手的地方，也是做好数学写作活动绕不开的.

另外，考虑到是异地借班上课，参与协调的数学老师平时工作量也非常大，对非常细致的准备工作也不一定有精力顾及，所以我们的课前准备工作也非常简单，将同学们以往活动的提纲和草稿简单预看了不到30分钟时间后，直接进入课堂，其状态接近于实战.

我们这样处理的目的，并非对本节课有十足的把握.一方面是暗示同学们，数学写作活动本身不神秘也不困难，在相关作品的赏评中，我们始终抱着发现闪光点的态度来进行指导.另一方面也是以实际行动来影响我们的同行，数学写作活动进入课堂并不是我们想象中的无从下手.精心准备后，我们相信大多数老师能胜任这项实践指导工作.推而广之，聚焦核心素养的课程实施中的许多问题，莫不如此.

总而言之，今天的这节数学写作指导课，几乎就是实战了，要说有什么准备的话，我们也只能说是曾经阅读或修改过不少于上千篇中学生数学写作作品，因为阅读本身和写作是分不开的.

2.教学反思

关于本节课的选题，我们一直没有多大把握，因为往往在实际课堂环境中难以操作.经常有老师和同学向我们咨询，在学生通过一定量的阅读或者介绍之后，能够加入到数学写作活动中，但这离一篇像样的作品出现，中间还有一段极为辛苦的路程.部分同学写出来的作品质量不一定有保证，需要老师的切实指导，同时这个指导过程对于绝大部分数学老师也有点陌生，不排除其中部分老师的自身写作力也不是很过关，所以我们以近乎实战的状态进入课堂，本身就是最好的行动宣传，数学写作进入课堂是可能的，根据我们自身的实践，大部分同学和老师一定可以做得比我们更为出色.

由于前期没有大量精心充分的准备，本节课的选材也只能是就地选材，正如网红电视系列片《舌尖上的中国》中反复强调的，美食的关键是什么？食材！食材！！还是食材！！！因此本节课的选材的确有典型性和类型不全的问题，或许这也是我们下一节课可以展示的主题吧.

同时，如果准备充分一点，我们在部分案例的选择和讲解上可以更加透彻一点，因为本节课的修改和润饰环节，在细的方面也的确没有兼顾到，当然本节课如果是两节课连排形式，这些方面可以多下工夫.四十五分钟时间，要适当多一点素材，时间充足了反而要注重精选和透彻讲解环节了，另外还可以和同学们讲解一下写作规范和投稿指导等.

聚焦进入课堂的数学写作，我们将一直努力.

践行有价值取向的教育研究，“数学写作”学校联盟将一直努力！

参考文献

[1]章建跃. 理解数学理解学生理解教学[J].中国数学教育(高中版),2010(12):3-7.

[2]潘荣菲．展望新加坡2013年中学数学课程[J]．数学教学,2012（8）.2-4.

[3]仓万林，李红．让学生学会“数学表达”——“数学写作指导1”教学设计及思考[J]．江苏教育，2017（83）：35-36,49.

[4]李红，仓万林．“解题研究型数学写作欣赏与指导”教学设计与思考[J]．中小学数学（高中版），2018（11）:62-64.

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现