“数学写作之初见建模”教学设计及思考

编者按：一个看似简单的例子，作者前后用了3个月改了4次，可见上好一节不容易！

本文发表于《中学数学月刊》2020年第1期

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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仓万林，男，江苏省江阴市要塞中学，中学数学高级教师，“数学写作”学校联盟秘书长，著有《数学文化行动研究的实践和思考》等，主要研究方向：数学文化和数学写作。

李 红，女，江苏省江阴市要塞中学，中学数学一级教师，江阴市教学新秀，江苏省数学文化素质教育资源库研发基地核心成员，何志奇名师工作室成员，新青年数学教师工作室成员，中国教育学会“中青创奥”教练员。

“数学写作之初见建模”教学设计及思考

江苏省江阴市要塞中学（214432） 仓万林 李红

2019年3月5日至6日，第三届“数学写作”论坛暨2019年“数学写作”教学研讨会在江苏省江阴市要塞中学进行．来自全国10多个省份的高校、中小学、出版社、杂志社等60多家单位的150余名数学教育工作者参加了活动．论坛由“数学写作”学校联盟和江苏省普通高中数学课程基地联盟主办，主题是：课程与写作．在教学研讨环节中，“数学写作”学校联盟副秘书长、江阴市要塞中学李红老师讲授了“数学写作之初见建模”展示课，受到了听课教师与专家的一致好评，下面呈现本节课的教学设计及其对于本节课的思考，恳请各位同行和专家批评指正．

1  教学设计

1.1  起：阅读走起

首先教师和学生一起欣赏 “数学写作”学校联盟举办“第二届的中学生写作竞赛”一等奖作品——夏欣雨同学的数学诗：《冥想》[1]，请学生朗读并谈感受．

除了数学诗歌、解题研究型数学写作外，数学建模也是常见的数学写作素材．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养．在平时学习中，应用问题就是简化版数学建模的最常见表现．

设计意图：数学写作离不开数学阅读，阅读是起点．诗歌营造了数学阅读和欣赏的氛围．同时，该数学诗歌的内容和意境对后续内容有铺垫作用．

1.2  承：精打细算

例1  数学家王元院士买瓜的故事

据说王元先生家楼下有个西瓜摊，大瓜三元一个，小瓜一元一个．王元先生让太太买大的，王太太买了两个大瓜，又有些犹豫：“大的比小的贵两倍呢……”王元先生笑着说：“大的比小的合算！”王太太点头又摇摇头：“恐怕还是大的吃亏．”

结合故事，试分析王元先生主张买大西瓜的数学道理．

设计意图：挑选西瓜有学问，这是一个数学建模问题，从“西瓜瓤与整个西瓜的容积比”角度分析买大瓜还是小瓜合算．用数学的眼光看问题，会在实际生活中发现模型，是数学建模的基础．对于该模型的解读有多个不同的角度，在后面的教学思考中我们有单独的说明．

例2  “双十一”期间，小明同学在商场看中一件T恤，标价398元；一条牛仔裤，标价598元，若商家不实施优惠，那么他购买两件物品需付款996元．常见的优惠活动：第一种：每满100元送50元抵用券，抵用券不参与送券折算；第二种：单件物品满100元立减50元；第三种：所有物品5.5折．分析这几种方式的优惠比例差距有多大．

补充问题：商家的精明还不止这些，无论是电商还是传统商家，都会在活动以前很“善解人意”地将价格下调几元．比如，活动前牛仔裤601元，T恤401元．

然后给出几个以实际生活为背景的数学写作的参考选题：（1）打车方案或者拼车方案；（2）各种常见宝的利率问题等；（3）常见网络红包的分布问题；（4）花呗消费合算吗；（5）房贷或者车贷问题；（6）常见彩票的中奖概率问题．

设计意图：通过生活化的例子，从抽象到具体，从模型的比较中，体会精打细算后面的数学道理．同时给出建模题材数学写作的一般建议．建议同学们先学习几篇学哥学姐们发表的作品，看看其他同学是怎样写的，选好材料后，应找准问题背后的数学模型本质，用简洁而有说服力的图表或数据说明问题.

1.3  转：考场传真

例3  （2009年高考海南、宁夏卷(理），17，12分）如图1，为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.

分析问题的课本来源（如苏教版高中数学必修5第21页的探究・拓展第9题^[2]）并给出表1.

表1：2009年宁夏高考数学（理科）机阅卷题目的得分比率

得分	0分	1分	2分	3分	4分	5分	6分
比率	13%	2.09%	19.79%	8.69%	2.89%	10.8%	16.3%
得分	7分	8分	9分	10分	11分	12分	均分
比率	1.89%	2.7%	2.29%	1.5%	10.59%	7.5%	5.08

设计意图：本题的设计方法较多，思维局限性小、容易上手，不同基础的同学都可以做，但方案设计的优劣体现了较强的选拔性功能.本题满分12分，作为解答题的第一题，从统计表可以看出，同学们的得分情况和我们的预期有较大的差距，不会数学建模，后果很严重！同时，同学们得分不理想的重要原因是不会表达，这种综合能力的培养是简单的机械训练很难做到的，也从反面说明了数学写作的重要性．

1.4  换：脑洞大开

例4  有一次数学测验（满分为100分）的成绩不理想，现在要把成绩处理一下，让50分变成60分，你有什么好主意？请给出设计方案．

按小组预习准备，课堂上展示发言．用GGB检验其中一种情况，指出可以借助现代教育技术手段，优化方案，剔除不满足实际问题背景的建模方案．

设计意图：当数学建模的方向不定时，应在分析函数性质的基础上尝试构造．还可以借用技术手段，比如用软件GGB,通过拟合命令，拟合不同的函数．从图象中可以看出，建模方案差异很大，可能出现许多不确定的情况，课后可以继续优化设计方案．

1.5  课堂小结

本节课我们进一步了解了数学建模的一般步骤，并初步欣赏和讨论了几则以数学建模为中心的应用问题．建模题材的数学写作，核心在于找出实际问题中的数学模型，用数学的思维审视问题，通过计算、推理等说明问题．数学建模类型的数学写作，更能全面体现“数学写作”文理兼通的课程特征，将学以致用落到了实处．

1.6  课后作业

1.选择今天课上的一则问题，设计解决方案，完成整个讨论过程和方案的作业报告．

2.自选方案，完成一篇以数学建模为中心的数学小论文，选用函数模型不限．

3.（南通市2018届高三数学第二次调研测试，18）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm²的矩形薄铁皮（如图2），并沿虚线l₁，l₂裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：

方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；

方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；

（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

2  教学思考

2.1  关于背景

关于本节课的设计，可以视为数学写作进课堂的系列之一．

2017年5月，“数学写作”学校联盟启动仪式上，李红老师执教了“数学写作指导1”一课．其教学设计参见《让学生学会“数学表达”——“数学写作指导Ⅰ”教学设计及思考》^[3]．2018年9月，“数学写作”学校联盟2018年教学研讨会在江苏常州溧阳市埭头中学进行．李红老师执教了“解题研究型数学写作欣赏与指导”一课，其教学设计参见《解题研究型数学写作欣赏与指导”教学设计与思考》^[4]．

2.2  关于选题

数学建模，因为其广泛应用的特征，也是我们在数学写作活动中关注和重点研究内容之一. 数学学科核心素养中的数学建模、数据分析等直接和数学应用问题密切相关.在数学教学活动中，加强建模能力的培养，“有利于学生养成用数学的眼光观察现实世界的习惯，有利于学生发展用数学的思维分析实际问题的能力，有利于学生形成用数学的语言表达实际问题的能力．”^[5]王尚志先生对数学模型进行了这样的概括：实物情景—实际问题—数学问题—数学模型—数学结果—进行判断是否合乎实际，如果是得到实际结果，不是那么可能在某个环节出现问题，再进行修正．

本节课的主题为初见建模，侧重于数学建模的前面几个环节，同时兼顾实际教学情况，试图在数学写作指导和实际教学情况两者之间达到平衡，例3的应用问题就是高考真题，作业中也有模拟题出现．整节课从结构上而言，数学欣赏和数学写作，一明一暗两条线索交替出现．

2.3  关于细节

数学建模问题中，素材或者例题的选择是非常重要的．正如网红电视系列片《舌尖上的中国》中反复强调的，美食的关键是什么？食材！食材！！还是食材！！！

以例题1为例，从当初的选择材料到最终版本，一共经历了以下几个版本：

（1）夏天,中关村82号楼门口总有个大号的西瓜摊，摊主姓魏，挑西瓜不用敲，用耳朵贴上听，十拿九稳．一次，数学家王元先生和太太去买瓜，两位一边挑一边算价钱．老魏卖西瓜不称重，分大瓜小瓜卖，大瓜3块一个，小瓜1块一个．王元先生说:“咱买那个大的，大的比小的值．”王太太挑了两个大瓜，交了钱，看看别人都在抢小瓜，似乎有些犹豫．王先生看出她犹豫，笑笑说:“你吃瓜吃的是什么?吃的是容积，不是面积．那小瓜的半径是大瓜的稍弱，容积可是按立方算的．小的容积不到大的30%，当然买大的赚．”王太太摇摇头:“你算得不对，那大西瓜皮厚，小西瓜皮薄，算容积，恐怕还是买大的吃亏．”王先生点点头道:“嘿嘿，你别忘了那小西瓜的瓜皮却是3个瓜的，大西瓜只有1个，哪个皮多你再算算表面积看．”最后两个人抱了大西瓜回家，留下老魏目瞪口呆地傻站着．

当初我们看到这个故事后，感觉非常好，不但延续了前面数学欣赏的风格，而且有故事情节，也有建模的背景．

（2）数学家王元院士买瓜的故事

王元先生家楼下有位卖西瓜的魏师傅，他卖西瓜不称重，大瓜三元一个，小瓜一元一个．由于大瓜小瓜差别不大，很多人都拼命地往小瓜那边挤．王元先生让太太买大的，王太太买了两个大瓜，又有些犹豫：“大的贵两倍呢…”．王元先生笑着说：“大的比小的合算！西瓜吃的是容积，不是面积．小瓜的半径不到大瓜的三分之二，小瓜的容积不到大瓜的30%，当然买大的．” 王太太点头又摇摇头：“大西瓜皮厚，小西瓜皮薄，算容积，恐怕还是大的吃亏．”

当初的欣喜马上就结束了，原版的故事风格是不大适应教学中例题的规范，数学课上可能少了数学味道．

（3）数学家王元院士买瓜的故事

王元先生家楼下有位卖西瓜的魏师傅，大瓜三元一个，小瓜一元一个．王元让太太买大的，王太太买了两个大瓜，又有些犹豫：“大的贵两倍呢…”．王元先生笑着说：“大的比小的合算！小瓜的半径是不到大瓜的三分之二” 王太太点头又摇摇头：“恐怕还是大的吃亏．”结合故事，试分析日常买西瓜的数学道理．

前面的案例，在篇幅上已经有很大的压缩，但显然有很多容易引起误解的要素在里面，容易分散思考的方向．

（4）数学家王元院士买瓜的故事

王元先生家楼下有位卖西瓜的魏师傅，大瓜三元一个，小瓜一元一个．王元让太太买大的，王太太买了两个大瓜，又有些犹豫：“大的贵两倍呢…”．王元笑着说：“大的比小的合算！” 王太太点头又摇摇头：“恐怕还是大的吃亏．”结合故事，试分析买西瓜中的数学道理．

和前一个版本相比，这次又删除了大小西瓜的半径之比，贴近后面的建模方向，瓤的体积和瓜的体积之比．

这四个版本的素材打磨很典型，我们前后花了3个多月时间．考虑到实际情况，最终的版本仍然有很多的遗憾．选西瓜问题，实际要考虑的因素有多个不同的视角，比如西瓜皮的厚度、瓜皮和瓜瓤的密度差异等等，是一个有较高开放度的问题，完全可以作为单独的建模问题来分析．

2.4  关于不足

数学建模问题中，如何从实际问题中析取模型是关键，也是难点，在本课上并没有讲清讲透，或许可以适当减少例题，将难点讲透．课堂的建模分析和数学写作活动之间如何统筹兼顾等，有进一步讨论的空间．

坚持进入课堂的数学写作探索方向不动摇，我们将一直努力．

参考文献：

[1]夏欣雨．冥想[J]．新世纪智能，2019,2：9．

[2]单墫主编.普通高中数学教科书必修5[M]．南京：江苏凤凰教育出版社，2012,6:21.

[3]仓万林，李红．让学生学会“数学表达”——“数学写作指导1”教学设计及思考[J]．江苏教育，2017,11：35-36,49.

[4]李红，仓万林．“解题研究型数学写作欣赏与指导”教学设计与思考[J]．中小学数学，2018,11:62-64.

  [5]洪燕君，周九诗，王尚志，鲍建生．普通高中数学课程标准（修订稿）的意见征询——访谈张奠宙先生[J]．数学教育学报，

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现