夏繁军张鹤：“整章—单元—课时”的教学设计与反思 ——以人教B版第十一章第3单元“空间平行关系”为例

Original 夏繁军张鹤文卫星数学生态课堂 2022-07-17

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原文发表于《中学数学教学参考》2021.1

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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夏繁军，男，首都师范大学附属中学数学教师，高级教师，北京市学科带头人。曾获北京市骨干教师，山东省教学能手，山东省优质课一等奖。大学本科毕业后一直从事高中数学教学工作，曾送过17届高三毕业班。

研究方向:教学设计、理解教学、深度学习、高三复习.现已在国家级期刊发表论文60多篇，6篇论文被中国人民大学报刊资料复印中心《高中数学教与学》全文转载，主编《课程标准校本化实施（中学数学卷）》（高等教育出版社）.

摘要：“整章—单元—课时”的教学设计，是一个完整的系统。遵循“总—分—综” 的路径。“总—分”是指整章—单元—课时，主要是内容和目标的分解，“分—综”是通过课时教学目标的实现，逐级融合并达到单元和整章目标。整章分析主要包括知识逻辑分析和思维方法分析；单元解读包括内容、目标分析，问题诊断、教学支持条件分析、课时设计，体现为什么教，教什么，怎样教，教的如何。课时设计关键是在分析内容和目标、分析学生认知基础上，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题（串），教会学生有逻辑地思考和交流，形成和发展数学核心素养。

关键词：整章分析、单元解读，课时教学设计，空间平行关系

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在课程结构设计依据中提出：依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识间的关联，重视数学实践和数学文化。在教学建议中提出：教师要整体把握教学内容，促进数学核心素养的连续性和阶段性发展。教师要关注主题教学和单元教学，要关注数学核心素养发展的各阶段目标、单元教学目标和课时教学目标的统一，关注教学目标对实现核心素养发展的贡献^[1]。教师进行教学设计一般是遵循“数学核心素养—主题目标—整章目标—单元目标—课时目标”的路径，是“总—分”的过程，而学生学习则是按照“问题解决—课时目标—单元目标—整章目标—主题目标—数学核心素养”的路径，是“分—综”的过程，最终目标是学生综合素养的提升。要实现这两个过程的完美统一，关键是做好“整章—单元—课时”的教学设计，这是一个完整的系统。如何基于整章分析进行单元解读，再到课时教学设计？笔者参考人民教育出版社章建跃老师给出的单元—课时设计模板^[2]，以人教B版普通高中教科书《数学（必修）》第四册第十一章“立体几何初步”为例，对整章进行分析，然后对第3单元“空间中的平行关系”进行解读，在此基础上对本单元3个课时“平行直线与异面直线”“直线与平面的平行”“平面与平面的平行”进行教学设计，并以第3课时为例，期望捋清“整章—单元—课时”的设计路径。

1整章分析

1.1 知识逻辑分析

数学是一门逻辑性很强的学科，知识体系呈现十分严谨的系统性。数学教科书是学生学习数学知识体系的最基本载体，它是按照一定的逻辑顺序和学生的心理发展规律将学生所要学习的数学知识分布在不同的章节和不同年级的。教师在进行具体内容的教学时，深刻理解所要教授知识在中学数学知识体系的地位和教育价值是非常重要的，这也是教师研究教学最重要的工作。

高中阶段立体几何的研究对象是空间几何体，知识逻辑的主线是研究构成空间几何体的点、直线、平面的确定和相互的位置关系，以及在此基础上研究空间几何体的性质及不同空间几何元素的位置关系，如图1所示。在教学中，要能够通过线

线、线面、面面之间的位置关系以及空间几何体的研究，让学生把握知识逻辑的主线，在义务教育阶段的平面几何学习的基础上，进一步地体会几何学的研究内容与研究方法。

在教科书的第一单元首先是研究空间几何体，其课程目标就是使学生认识、了解、掌握一个空间几何体的结构特征，通过对空间几何体的整体把握去培养和发展学生空间想象能力。在教学中要能通过从空间几何体的结构特征、画图方法和度量计算三个角度展开，以帮助学生认识空间几何体。这一部分的教学，加强几何直观的教学，适当进行思辨论证，引入合情推理。对于空间想象能力的培养在以往的立体几何教学中，仅仅是依赖逻辑推理，培养途径比较单一；新课标下的教材，对于空间想象能力的培养给出了的途径是：几何直观、合情推理、逻辑推理。培养途径多元，符合学生的认知规律。在教学中，不要误认为这部分的要求是降低了,讲课时一带而过。实际上，要在这一部分的教学中，加强几何直观的训练。在引导学生直观感受空间几何体结构特征的同时，学会类比、学会推理。

对于空间几何体的表面积和体积公式的教学不是仅仅为了应用公式去解决有关的计算问题，更重要的是通过公式的推导思路的寻求(如侧面展开图)和各种几何体计算公式的联系的分析，帮助学生从计算的角度去认识空间几何体，更加准确地把握空间几何体的结构特征。

对空间几何体的研究经常都是借助或转化为平面的问题来解决的。“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，而这种转化又是空间图形中解决相当一部分问题的一种重要的思想方法。这种转化的最基本的依据就是三个公理。

“平行”和“垂直”概念在定义和描述直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系中起着重要作用。它集中体现在：空间中的平行关系之间的转化、空间中的垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化^[3]，如图2所示。

1.2 思维和方法的分析

我们常说：“点动成线、线动成面,面动成体”，一方面是从动态的角度描述直线、平面及几何体的形成过程，更重要的是在告诉我们立体几何的思维方法：确定点的位置要靠直线（两条相交直线），确定直线的位置需要两个相交平面，确定面需要几何体，如图3所示。

在新课标背景下的立体几何教学削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，减少了定理的数量，删去了大量的几何证明题，淡化了几何证明的技巧，降低了论证过程形式化的要求。这样的安排继承和发展了普通高中数学课程标准（实验）的理念，引入合情推理，突出几何直观，在大量实际背景，直观操作和感受的基础上，引导学生归纳、概括出若干定理，让学生感受公理化思想，了解证明的含义。但也正像前面我们所指出的那样，这样做，不是为了降低几何证明的难度，而是对几何证明的要求分阶段、分层次，是丰富了几何教学的价值。

学习时，一方面要引导学生从生活实际出发，把学习的知识与周围的实物联系起来，另一方面，要引导学生经历从现实的生活抽象空间图形的过程，注重探索空间图形的位置关系，归纳、概括它们的判定定理。

总之，从以上的分析，我们可以看出，本章的最大变化表现是对几何推理的要求发生变化。

实际上，欧几里得公理体系建立以来，几何与演绎推理结下了不解之缘，几何教学培养推理能力的这种价值一直得到人们的重视。事实上，推理既有合情推理，也有演绎推理，而且从数学自身发展的过程来看，演绎推理也并非“几何”所独有，它广泛存在于数学的各个分支中。所以，20世纪80年代以来，国际数学教育对几何推理的要求相应地发生了变化，其普遍趋势是：从纯粹的演绎推理转向较少的演绎推理，更多地强调从具体情景或前提出发进行合情推理；从单纯强调几何的推理价值转向更全面地体现几何的教育价值，特别是几何在发展学生空间观念，以及观察、操作、试验、探索、合情推理等方面“过程性”的教育价值。

1.3 后续内容和方法分析

在选择性必修课程里，学生将在平面向量的基础上利用类比的方法学习空间向量，运用空间向量研究空间几何图形的位置关系和度量关系，如图4所示，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用^[3]。

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2单元解读

2.1 内容及其解析（教什么—学什么）

2.1.1 内容：平行直线与异面直线；直线与平面平行；平面与平面平行

2.1.2 内容解析：

平行关系是空间中图形位置的一种基本关系，本单元主要研究组成空间几何体的基本元素：线、面之间的平行关系，包括直线与直线平行、直线与平面平行和平面与平面平行。从集合与元素角度讲就是两个集合有无公共点的问题。

蕴含的数学思想和方法：

（1）抽象概括的方法。具体说有以下两点：

①定理得出的抽象过程：实物模型—图形—文字—符号；

②定理应用中的抽象过程：读到题目中文字、符号和图形—联想实物模型—形成新的图形、文字和符号；体现从具体和直观到抽象，再从抽象回到具体，到新的抽象的螺旋提高过程。

（2）从整体到局部、从一般到特殊的研究问题的方法。在本单元体现在两点：

①在第一单元空间几何体中，先整体认识空间点、直线、平面之间的位置关系;在此基础上，再对直线、平面之间平行、垂直这两种特殊情况重点研究。

②在线面平行和面面平行的判断和性质定理研究过程中，先给出两个元素之间的一般位置关系，然后研究特殊的位置（平行、垂直关系）的判定和性质^[4]。如表1。

（4）公理化思想和逻辑推理的方法。逻辑推理主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。本单元在线面平行、面面平行的判定定理和性质定理发现中渗透合情推理（归纳、类比），在应用平面的基本事实和推论，线面、面面平行的判定和性质定理证明问题中，体现演绎推理的方法，主要是三段论的形式。在推理中综合运用几何语言（包括图形语言、文字语言、符号语言、集合语言）。建构定理、应用定理过程中体现公理化思想。

（5）研究空间位置关系的一般路径：直观感知—操作确认—归纳猜想—推理论证—实践应用。

知识的上下位关系：本单元知识上下位关系见下图

因此空间的平行关系上位概念是位置关系，下位概念是直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行。

本单元上承：第一单元空间中的点、线、面的位置关系的提出，在本单元给出严格证明；下启：空间中的垂直关系研究路径，也为后续所有演绎推理与证明提供思维基础。

育人价值：本单元是学生第一次经历系统研究几何体位置关系（平行关系），建构直线、平面平行的定理体系，应用定理解决问题。是对第一单元线、面的位置关系的再确认和深化，也为研究空间的垂直关系铺设了研究路径。

通过观察实物、模型、图片，抽象出立体几何研究的对象，通过实际操作，归纳概括出空间直线、平面的平行关系，学会用数学的眼光观察世界；借助直观想象提出定理，然后严格论证定理，用准确的数学语言表达定理，并应用定理解决问题。通过类比、转化等方法发现和提出空间平行关系的问题，找到研究空间平行关系的路径，体会研究过程中蕴含的数学思想方法，学会用数学的思维分析世界;在解决具体立体几何问题中，重视用基本几何图形表达问题、用几何语言描述和理解问题、分析和解决问题，学生学会用数学的语言表达世界。学生既掌握“四基”，又提高“四能”，发展了“核心素养”。体现了立体几何教学的育人价值。

教学重点：通过直观感知、操作确认、归纳出空间平行关系的判定定理和性质定理，会论证这四个定理，并会应用这些定理证明有关平行问题，体会研究平行关系中蕴含的数学思想方法和研究路径。

2.2 教学目标及其解析（为什么教——为什么学）

2.2.1 单元目标（服务于整章目标）

（1）借助长方体直观认可：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。了解空间平行线的传递性，了解等角定理，了解空间中两条异面直线的定义。

（2）借助长方体，通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理。

如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行；

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

并在此过程中，感悟从一般到特殊的思维方法，初步了解反证法在证明定理中的作用。

（3）借助长方体，通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并会对性质定理进行证明。

一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么该直线与交线平行。

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

并在此过程中，初步学会用已知结论证明数学问题，理解演绎推理的基本过程。

（4）能够运用所得定理证明空间中的平行问题。逐步发展直观想象、逻辑推理、抽象概括等数学素养^[5]。

2.2.2 目标解析

达成以上目标的标志是：

（1）能够在空间中运用平行的传递性证明两条直线的平行，能把等角定理从平面推广到空间。能够借助衬托平面正确画出空间中两条异面直线，并能结合图形说出两条异面直线的判断方法。

（2）能够观察实物、模型、图形等抽象出几何的研究对象，说出线面平行、面面平行的定义，发现线面、面面平行的判定定理，能从一般与特殊的位置关系中发现用反证法证明判断定理的缘由。能够在简单问题中识别应用判定定理的条件，用判定定理判定空间中的平行关系。

（3）能通过直观感知、操作确认，归纳出线面平行和面面平行的性质定理，能够用平面的基本性质、平行的传递性、线面平行的定义等已知结论证明性质定理，熟悉演绎推理的基本过程。能够在简单问题中识别应用性质定理的条件，用性质定理判定空间中的平行关系。

（4）能够在较复杂的问题情境中识别应用判定定理的和性质定理条件，借助几何图形，综合运用判定定理和性质定理解决空间中的平行关系。能够在定理应用过程中体会到空间与平面的相互转化，感悟到空间几何的公理化思想；能够借助几何图形、几何语言解释和证明相关定理或举出反例，能够用适当的数学语言进行合理表达。

2.3 教学问题诊断分析（教给谁，谁来学）

2.3.1 学生已有基础分析

（1）知识准备：学生在学习本单元之前学过与本单元相关的知识，如表2。

（2）思维准备：包括研究方法和表达思维的方式

①研究方法：在研究平行线的性质定理和判定定理过程中，学生初步学会借助长方体、平行四边形等基本图形，直观感知位置关系，初步渗透从直观到抽象，从整体到局部，从一般到特殊的研究方法，明确提出可以举反例说明问题不成立，并通过平移理解平行，用角度关系说明位置关系，从定性描述走向定量刻画。在研究两条平行线的性质时，提出两条直线平行，我们看和第三条直线的关系：若第三条直线与这两条线平行，符合基本事实：平行于同一条直线的两两条直线相互平行，所以只能研究第三条直线与两条平行线相交，因此产生平行线的性质。

②表达方式：在应用平行线的判定定理和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质中，渗透演绎推理的表达方式，初步学会三段论的证明结构。

2.3.2 学生基础与目标的差距

可从以下几个角度比较初中和高中平行关系的差异。

学生面对空间几何体的直观图，发现多个几何元素及其位置关系、元素间内在的逻辑推出关系比较困难，因此在定理的推导和和证明过程中就要学生充分利用基本空间图形，找到要研究的元素、发现它们之间的位置关系，根据要证明问题先用分析法（从未知到须知），再用综合法（从已知到可知，综合各个可知到新可知），明确条件和结论之间的逻辑桥梁，确定证明问题的“大思路”，然后再关注“小细节”，用数学语言进行严谨表达，严格推证。培养严格推理的好习惯，在应用定理解决问题中要通过面批、比较、展示等手段逐步完善学生思维，这是一个循序渐进的过程，不可能一蹴而就。

2.3.3教学难点：通过直观图想象出实物图，在复杂的空间几何体中，发现多个元素间的位置关系以及内在的逻辑推出关系，准确运用数学语言，依据平行的判定和性质定理证明问题。

2.4 教学支持条件分析（什么条件能支持教，什么条件支持学）

由于学生生活的空间就是三维空间，空间中线、面、体在日常生活中处处可见，因此学生手中的笔，教室里的实物：桌面、黑板、墙面，这些实物媒介对于学生理解空间几何元素间的位置关系提供有力支撑。

利用GeoGebra软件或者几何画板可以方便做出直线与平面，并且可以平移、旋转视图，便于学生观察直线与直线、直线与平面，平面与平面的位置关系，为有效教学提供技术支持。

（手机上点击可以打开链接）3 课时教学设计（怎样教,怎样学）

本单元新授课需5个课时，具体课时分配如下。

第3课时 11.3.3 平面与平面平行(第1课时)

1.课时教学内容

平面与平面平行^[5]

2.课时教学目标（服务于单元目标）

1.借助直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理，会用符号语言、图形语言、文字语言表示定理；在此过程中，感悟从整体到局部，从一般到特殊的研究方法。

2.会用反证法证明平面与平面平行的判定定理，理解反证法的原因和逻辑；会用判定定理证明几何问题；在此过程中发展逻辑推理能力和空间想象力。

3.教学重点与难点

教学重点：平面与平面平行的判定定理的证明及其应用；

教学难点：平面与平面平行的判定定理的证明。

4.教学过程设计

【环节1】明确空间平面与平面间的位置关系

【问题1】在第一单元研究直线与平面位置关系时，把直线和平面看做点的集合，我们清楚空间中两个平面的位置关系有哪些？

预设：学生回答平面与平面的位置关系有两种：相交、平行，

追问：请大家在表5的表格里填写平面与平面位置关系的表示形式。

【课后作业】

第107页课后练习B组第4题．第108页习题11-3A组第6题

【设计意图】巩固面面平行的判定定理。

4教学反思

4.1 如何做好“整章—单元—课时”的教学设计？

可遵循“总—分—综的路径”。“总—分”是指整章—单元—课时，主要是内容和目标的分解，是个物理过程，是教师对教学内容的分析，主要是知识逻辑体系、内容本质和蕴含思想方法的分析，反映教师“理解教学”的程度；“分—综”是课时教学到单

元、到整章教学结束学生在综合能力上的提升，是个化学过程，是教师分析学生，立足学情诊断，选择适当教法，设计适切的问题情境，和学生深度交流后，学生表现出的数学素养的提升。反映教师“理解学生，理解数学、理解教学，理解技术”程度。

“总—分—综”关系可以用下面表格来呈现。以空间中的平行关系为例，如表7。

4.2 教师的主观能动性体现在哪里？

（1）准确诊断学生的认知基础

这是教师和学生无数次面对面交流得到的最直接材料。学生认知基础一般分为知识基础和思维准备。比如本单元中我们通常说学生空间想象力不好，到底那里不好？我们可以从研究对象的复杂程度、空间中元素间的关系的明显程度，思维链条的长短程度、数学语言表达的难易度几个角度进行对比，找到学生的困难“点”在哪里，章建跃老师一直强调教学重点和难点都要落在“点”上。教学最重要的就是清楚学生起点在哪里？终点在哪里？根据起点和终点之间的差距选择合适的路径。

（2）设计适切的问题串和学习情境，引导学生有逻辑的思考

数学核心素养通常是在综合化、复杂化的情境中，通过个体与情境的有效互动生成的^[6]。问题的设计和情境的创设要基于准确把握教学内容，精准分析学情、结合教师个人教学特点。问题提出的目的是引导学生有逻辑的思考。

比如面面平行的性质定理的发现和证明。面面平行的性质是在两个平面平行的条件下，研究直线与平面、直线与直线位置关系的不变性。为此提出问题：”类比线面平行的研究，我们研究面面平行的性质定理，首先清楚面面平行的性质定理是在面面平行的条件下，研究谁与谁的位置关系的规律性或不变性？

追问1：先看两个平面平行时，一个平面内的任一条直线与另一个平面的位置关系

4.3 教师要有怎样的思维？

整章—单元—课时的教学设计是个系统工程，教师要有系统化思维。系统化思维是关注事物之间反馈循环的关系，而不是简单的线性因果关系，强调以整体和动态的视角看问题，全面把握局部和整体、静态与动态、近期与远期的关系，纵观全局并将问题放到整个系统中，逐级分析各结构层次，探索事件发生的深层次原因，帮助人们理解复杂的系统，从而做出正确的决策，并解决现实社会中面对的复杂问题。

数学知识几乎都是概念。概念具有层次和结构，概念之间存在上、下位的层次关系，一个上位的科学概念之下有众多的下位科学概念及其概念之间的联系。奥苏贝尔认为:概念不是一段孤立的词句，而是一个层次性的结构，知识之间有上、下位关系。进一步地，肖沃尔特(Showalter )根据科学概念有逻辑且互相关联的特征，构建了由7层概念组成的科学概念的结构，即:知觉感受、直接概念、事实概念、定律概念、创设概念、原理概念及理论概念。7层概念有上、下位之分，理论概念是层次最高的概念，囊括了各类下位概念及概念之间的联系。由此可知，科学概念不仅是对客观事物的本质描述，还是一种更复杂的概念体系，其中包含了事物的内在属性、事物的深层结构，以及事物之间的逻辑关系，即数学概念的学习是一个有层次结构且互相联系的复杂系统^[7]。

整章—单元—课时的教学设计有助于提升教师整体把握数学课程与教学的能力;有助于提升教师的数学素养;有助于提高教师的数学教学实践能力;有助于培养教师的反思意识和团队协作能力，促进数学教师专业发展^[8]。（注：本文自2020年4月成文，后经段养民主编、孙美玲编辑数次精心修改，特致感谢！）

✎ 参考文献

[1]中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准（2017年版）[M]，北京：人民教育出版社，2018.1.

[2]章建跃. 普通高中教科书·数学“单元一课时教学设计”(人教A版))体例与要求[J], 中学数学教学参考(上旬),2019(8):14—16.

[3]张鹤.数学教学的逻辑——基于数学本质的分析[M],首都师范大学出版社，2016.10:25

[4]李海东.基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考[J],数学教育学报，2019(1):8-11.

[5]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学教材实验研究组.普通高中数学教科书人教B版，数学必修（第四册）[M]，北京：人民教育出版社，2019.7.

[6]史宁中王尚志主编，普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]，北京：高等教育出版2018.5,(2019.7重印）:248

[7]周丐晓，刘恩山. 系统化思维研究新进展及其在科学教育课程改革中的重要作用,生物学通报,2018(2):13—17.

[8]吕世虎，吴振英，杨婷，王尚志.单元教学设计及其对促进数学教师专业发展的作用，数学教育学报2016（10）：18—21.

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