高中数学小论文写作的实践与思考

仓万林文卫星数学生态课堂 2022-07-17

本文发表于《数学通讯（教师版）》2015年第11期

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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仓万林，男，江苏省江阴市要塞中学，中学数学高级教师，“数学写作”学校联盟秘书长，著有《数学文化行动研究的实践和思考》等，主要研究方向：数学文化和数学写作。

高中数学小论文写作的实践与思考

江苏省江阴市要塞中学（214432）仓万林

对学生数学学习的评价，2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》在基本理念中明确指出：评价既要关注学生学习的结果，也要关注他们数学学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化．^[1]

如何深入了解和客观评价学生在学习的过程以及数学学习活动中所表现出来的情感态度变化呢?数学小论文写作为我们提供了一种有效的途径．

1 数学小论文写作

数学小论文写作是指在学习目标的指引下，学生将所学的数学知识与实际问题整合起来，或者是对数学知识及其规律性的认识，或者是自己对数学的困惑及理解，或者是与教师的沟通等，通过自主研究并整理写成数学文章的一种学习活动．

写作与学习的密切关系很早就受到美国教育界的关注,这反映在20世纪60年代诞生的“贯穿于课程的写作”运动． 20世纪70年代开始,一些数学教师开始在课堂上引入数学写作活动．^[2]到20世纪末，“数学写作”已经成为全美数学教师广泛采用、较为成熟的一种数学学习工具．

在国内，2001年春节张奠宙先生提出了“数学作文”的概念，数学作文开始在教育界崭露头角．四川大学盛登曾比较系统地对2000多篇学生数学作文进行分析研究，并访谈了20多位参与数学写作的教师，得出结论有：数学写作促进学生表达并思考自己关于数学的知识、数学的方法以及数学情感；数学写作能满足教育个性化的需要，数学写作培养了学生开放性数学思维能力、创新能力和反思能力；数学写作丰富了学生的数学文化生活；数学写作创造了教师与每个学生对话交流的一种新途径，创造了积极和谐的教育教学环境，构建一种和谐的师生、生生关系．^[3]

苏教版高中数学教材中还开创性地设立了数学写作题,这也是新教材的特色之一，如表1．

表1 苏教版高中数学教材的数学写作题

册数	页码	序号	内容
必修一	18	18	用集合的语言介绍你自己．
必修一	104	8	到学校附近的农村、工厂、商店、机关做调查，了解函数模型在生产、生活中的应用，收集一些生活中的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）实例，并作出分析，写成调查报告．
选修2—1	74	8	离心率相同的二次曲线形状都相同．

2 实践和案例

我校是江苏省“数学文化素质教育资源库研发基地”，包含数学小论文写作在内的数学文化行动研究形成了鲜明特色．2015年3月，《新高考》杂志在封二位置和正文共11个版面介绍了我校数学文化行动研究的经验和师生作品．《感悟数学》、《独特的圆》、《建筑与数学》、《小优惠大文章》等14篇学生数学小论文已经在《新高考》等杂志上发表．

总结我校高中生数学小论文写作实践的经验，写作类型一般包括以下几种：

2．1 学习心得体会类

案例1 感悟数学^[4]

点评：案例1源自张叶同学在高一上学期期中考试后的一段心路历程，从当初的困惑到经过老师指点后的步入正轨及后来的良性发展，对引领高一新同学认识数学学科有帮助．一般学习中的挫折或者成功经验均可以成为写作的素材，这往往也是初学数学小论文写作同学的首选．这些源于自身学习的体会容易为广大同学们所认可，对其他同学也具有指导意义．学习心得体会类数学论文的写作，可以重点关注以下几个明显的时间段：刚刚进入高中学习时，有部分同学在学习方式转换上存在适应性的困难；文理科分科后，部分同学会感觉数学学习的节奏可能跟不上（尤其是选择理科的同学）；高三一轮复习后，部分同学存在天花板效应的问题，在这些特殊时期，引导同学们将自己的真实想法梳理后写下来，对于同学的学和教师的教，成果往往很显著．学习心得体会类的文章，让我们看到了一个个学生的内心世界，也为我们了解学情，了解和客观评价学生数学学习的过程，了解数学学习中所表现出来的态度变化提供了方便，从而可以展开有针对性的学习方法指导或者学习心理疏导．

2．2 数学文化与科普类

案例2 建筑与数学（节选）^[5]

说到等差数列，它或许并不像几何能带给人们视觉上的震撼，或许也不像黄金分割比那么优雅动人，但它却真实地存在于我们身边．在少林寺，佛塔林立，却几乎不存在偶数层的塔，而是例如1、3、5、7、9、11、13……这些奇数层．这说明数字在中国除了它的运算功能外，还具有哲学的意义．在古代，数字有奇有偶，有阴有阳．天数奇数，为阳数，生数；地数偶数，为阴数，成数．天在上，为圆，向高发展要用天奇数；地在下，为方，平面展开要用地偶数，这是中国人对数的讲究．天覆地载，高天厚地，天地合一，方才有了古人对“博厚配天，高明配地，悠久无疆”的崇高境界的追求．

行文至此，突然想到了关于美国最高法院大楼的评论，其中谈到了法院的窗户不是长方形，而竟然是梯形结构．这样的设计使最高法院的大楼从远处看起来显得十分恒久、优雅、壮丽、稳定而匀称，而这正是法律应有的形象．法院的核心部分——法庭，天花板被设计得非常高，以至于站在地面上，你都很难看到天花板的全貌．这样的设计真是匠心独到，昭示着最高法院的灵魂．最高法院的台阶、椭圆的广场、大门等等，不论细节还是整体，都堪称华丽，宏伟，垂范久远．我们在赞叹卡斯·吉尔伯特堪称完美的设计时，也为其对法律的思考所深深折服．

建筑是美丽的，数学也是，简单的几何形状，通过数学精密的计算使其符合了建筑的设计，这带给我们丰富多彩的生活．由基本定理出发，经逻辑推论到所有定理，这是数学的理性的一面，让我们学会用数学理性的眼光欣赏世界．同时，社会的进步要求我们不仅追求功能，还要追求美感，让我们不断创造经典，在一点点的灵感中超越平庸．

点评：赵一的《建筑与数学》一文形成于校本选修《数学文化》学习之后，当时我们正好学习数列内容，他用近一个月的课余时间，反复查资料并请教指导老师，修改打磨而成．正如孩子母亲所说：“孩子在这一个月中是非常忙碌而快乐的，也很有成效．更为重要的是，有了这次写作经历后，孩子从排斥数学转变为亲近数学，学习信心十足．”文章引领我们用数学的眼光来审视和谐、充满创意的建筑，从而领略数学之美．数学是流动的，流动在曼妙的音符、飞扬的文字中；数学是凝固的，凝固在古老的石碑、高耸的建筑中．作者细致地观察，使其寻觅到了融于建筑之中点点滴滴的数学结晶，全方位、多角度地向我们展示了数学之魅力与永恒，使我们深刻感知到数学的确是无处不在，结尾“在一点点的灵感中超越平庸”，恍如是某人无意间走进数学殿堂时，回荡在耳边的发人深省的话语．我们在数学文化行动研究中，也对部分学习上有问题的同学（甚至严重到因数学学科挫折而打算退学的），进行了数学学习行为矫正，从数学文化视角引领同学重新认识数学学科，聊数学之现实生活应用，起到了良好的矫正效果，也积累了成功的案例．如何引导同学亲近数学，我们可以做的还有很多,数学文化或者科普类是有效的突破口之一． 用学生喜欢和乐于接受的方式进行数学文化普及，一直是我们努力的方向． 2014届的毕业生蔡同学，在作品《独特的圆》发表后，对数学的学习有了顿悟，对数学的学习也变得特别有信心，高考中，轻松取得了137+31（理科）的成绩，比同档次的同学要高出30多分．从数学文化和科普角度进行数学小论文写作，难度要比学习心得体会类写作大一点，但从引领同学重新认识和审视数学学科而言，作用更为显著，这也成为我校的特色之一．

2．3 数学模建应用类

案例3 小优惠大文章（节选）^[6]

让我们来做一个假设，小明同学在商场看中一件T恤，标价398元；一件牛仔裤，标价598元，若商家不实施优惠，那么他购买两件物品则需付款996元．让我们来说说常见的优惠活动.

第一种：满100元送50元抵用券，抵用券不参与送券折算；第二种：满100元立减50元；第三种：所有物品打5．5折．许多人看到都会认为前两种方式优惠力度大，是这样吗？让我们来仔细算算，它们的差距到底有多少吧!

先来计算第一种方式的优惠力度．一般情况下我们总是先去买贵的物品，得到抵用券再去购买另一件便宜的物品，那么小明同学先花了598元购买牛仔裤，得到250元抵用券，立刻去买了T恤，还需支付148元现金，实际两件物品他共付出746元，相当于是原价的74．9%．

再让我们来看看第二种优惠方式，牛仔裤的价格为598元，小明需付款348元，T恤价格398元，他需付款248元，总费用596元，相当于原价的59．8%．

而第三种方式的优惠力度就简便多了，两件物品都打5．5折，需要付现金547．8元．

总结一下，我们就能清楚发现其中的秘密了，第一种抵用券的方式看上去好像是优惠不少，很多人甚至把它等同于5折，可实际是商家促进顾客多消费的手段．第三种方式表面不是最高优惠，其实它是实实在在让利于民．

商家的精明还不止这些，无论是电商还是传统商户，都会在活动以前很“善解人意”地将价格下调那么几元，为什么是几元而不是干脆原价不变或者大幅度降价呢？亲，你真的看懂了吗？

那再让我们来看看价格上的玄机．我们将每件物品的价格提高3元，那么牛仔裤601元，T恤401元，再来按前面的折扣算算．

第一种：购买牛仔裤可得抵用券300元，T恤付款401-300=101元，实际费用601+101=702元，换算为百分比71．8%．

第二种：牛仔裤实际价格为301元，T恤实际价格为201元，那么总费用502元，百分比为50．1%．

第三种：总费用为(601+401)0．55=547．8元，百分比为55%．

让我们列张表来看一下，情况就更一目了然了，如表2．

表2 优惠一览表

	T恤598 牛仔裤398	T恤601 牛仔裤401
实际付款	优惠比率	实际付款	优惠比率
第一种优惠	746	74．9%	702	70．1%
第二种优惠	596	59．8%	502	50．1%
第三种优惠	547．8	55．0%	551．1	55．0%

明明白白的数字直观地告诉我们，商家在每件物品的价格上优惠了我们3元钱，最终却让自己得到了更高的利润．小伙伴们，你的大脑还够强大吗？是不是都在擦汗呀？

点评：王韫同学的文章选择了函数模型,生活化的素材很吸引眼球,她和同学逛商城买衣服时，有了一点想法，加之对数学小论文的一般写作过程也很了解，一气呵成．数学建模是新课程的核心内容之一．数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育基本和重要的内容．数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力．^[7]王尚志教授指出：“通过论文的撰写可以使学生学到的数学知识有机会与实践相结合，可以使学生的思维在生活实际的大背景下活跃起来，并且能够激发学生的创造性的思维活动，它可以成为数学理论和应用的课堂教学活动的重要补充．”^[8]数学建模类的数学小论文因为其学以致用的特色，一直受到广泛关注，成熟的案例作品也较多，正如同学们所言：“数眼看世界，世界更精彩．”

2．4 解题欣赏类

案例4 三招探最值^[9]

点评：文章写作于高三一轮复习“等差数列”之后，小组讨论研究，从不同角度阐释，对比分析，如同学所言：以后再遇到类似问题，再想做错也很难了．数学解题不仅是追求答案的获取，知其然,还要知其所以然．这其实是不够的,我们还要“何以知其所以然”．新加坡著名数学家李秉彝先生关于“答案、过程、表达”三者关系的论述：“首先，为什么答案是重要的？假如你在造一栋住宅，竣工后，房子塌了，你愿意因为仅仅是过程正确而向建造商支付报酬吗？其次，为什么过程是重要的？你可以在过程做错的情况下，得到正确的答案，但我不肯定你下次还会那么幸运．第三，为什么表达是重要的？如果你说得很好，你可以通过一扇门，我是说，你可以把所要表达的意思传递给门后的那个人，如果你写得很好，你至少可以通过三扇门，我是说，你可以把所要表达的意思传递给你老板的老板的老板，只有完美的表达才可以传递得更远．”^[10]

从学生视角出发的一题多解、错题纠错与究错、典型问题的探究等贴近学生的知识和认知水平的实际情况．学生写自己解题的心路历程，特别是对同一类问题的积累和拓展等，在解决问题的同时，培养和训练了学生归纳、发现问题的能力．同学解决问题的心路历程，也是最好的教学反馈．体现了“既关注学生学习的结果，也关注了他们数学学习的过程；既关注学生数学学习的水平，也关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化”．难怪其效果要比单一的教师讲解要印象深刻．同时对教师来说，也是鲜活的教学过程中的反思素材、生成性资源，合理使用，会取得更好的教学效果．

当然，数学小论文的类型不一定局限于上面的几种，如数学日记、调查报告等也是常见的写作方式．

3 几点建议

3．1 加强教师引领作用

关于数学小论文的价值，罗强调查的结论是“大多数学生认为数学小论文活动对数学学习以及将来的工作学习有很大帮助，而对高考几乎没有直接帮助”，^[11]类似的想法在教师中亦十分有市场，学生的这些认识也体现了教师教学活动的潜移默化的影响．在数学文化活动研究中，教师的理念更新和实际行动是至关重要的．在实践过程中，由于高中教学工作紧张，师生往往更喜欢通过多练习、多解题来提高数学成绩．对以高中生数学小论文写作为代表的数学文化行动研究，很多教师的态度仍然是怀疑和观望，没有摆脱“讲起来重要，忙起来不要”的尴尬局面．

教师进行数学小论文的指导工作，实际操作并非我们想象那样困难，对相关问题进行充分研究后，教师可以将数学写作的基本流程：选题、实施、批阅、评价、交流、总结、补充、修改等,给同学做一个简单介绍并加以辅导．开展数学小论文过程中，有些数学小论文的质量不高，学生不愿意参与，教者评价不到位，师生对数学小论文有倦怠等，这些都是实践中的共性问题．

我校数学小论文等数学文化行动研究之所以取得一定成绩，和我们有一支乐心于数学文化传播的教师队伍紧密相关，教师已经发表数学文化或科普类文章五十余篇．在教学中，我们初步形成了学生活动、教学渗透和校本课程三位一体模式． 2014年12月，我校和全国新青年数学教师工作室共同举办苏沪数学文化教学研讨活动，刘燕楠老师开设的《数学文化视角下的高考试题赏析》专题课，以数学文化为主线展开教学．所有这些活动的开展,对引领同学进行数学小论文写作起到了很好的铺垫作用．在对外交流或外出讲座中，我们反复强调，教师观念的更新对于引领我们的教学行有至关重要的作用．在高三复习紧张时刻，我们仍然会每周开辟两节课专门用于数学阅读，指导学生阅读解题经验、思路等方面的杂志和文章，毕业班同学正常参与数学小论文写作常规活动．经常有老师问我们：“哪来那么多时间，教学任务完不成怎么办？”课堂往往是教师为主导的，问题的关键是我们着眼的是眼前的教学效果，还是学生的综合能力提升和长远发展．从高考成绩来看，我们的优秀率和提升度均优于同档次学校，实现了文化引领下的良性成长．

3．2 结合学习与活动开展研究与写作

开展数学小论文写作活动，可以关注以下两个方面．一，结合教学进度开展数学小论文写作．如必修一中学习函数的应用时，可开展数学建模的专题写作，从数学的视角看待实际生活，很多时候同学的独特视角会给我们非常大的惊喜．二，结合学校活动开展专题征文活动，每年我校结合读书节，开展数学文化专题征文活动，每次均能收到作品五百件以上，然后由老师批改、评价等，择优评奖和推荐发表，成为读书节中的一个亮点．对发表的作品，我们会及时展示给大家欣赏，当同学们看到自己或者同伴的作品在杂志上刊登时，喜悦之情溢于言表，带动和推动更多同学参与，形成了良性循环．

期待着更多的教师和同学参与到数学小论文写作活动中来．

参考文献：

[1] [7]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[S]．北京：人民教育出版社，2003.