“初见数列”教学设计和思考

      本文原载《上海中学数学》2020.3

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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【作者简介】1. 仓万林,江苏省江阴市要塞中学(江苏江阴，214432)教师，高级教师，全国新青年数学教师工作室副理事长，“数学写作”学校联盟秘书长；

2.李红，江苏省江阴市要塞中学(江苏江阴，214432)教师，一级教师。

“初见数列”教学设计和思考

江苏省江阴市要塞中学（214432） 李红  仓万林

2018年12月2日到3日，“江苏省项目化学习促进学科素养发展观摩研讨会”在江苏省太仓高级中学进行，活动主题是“课程项目化学习：数学课程文化的创新”．笔者开设了《初见数列》展示课．本课尝试了新颖的章节起始课形式，融数学阅读与欣赏、数学文化渗透、数学写作等体现核心素养的课程元素于一体，给同学们和听课专家留下了很深的印象．

一、教学设计

1 教学引入

各位同学下午好，很高兴来到江苏省太仓高级中学，并和同学们一起初见数列，本课的课题取自清代著名词人纳兰性德的词：“人生若只如初见”．请同学们将课本打开到第28、29页，这两页的主体图像是什么？如图1，同时展示鹦鹉螺的剖面图和彩图．

图1

设计意图：用清代著名词人纳兰性德的词点题，为后文定下文雅的基调，也为数学文化渗透打下基础．从阅读课本章头图开始，引导学生如何读书．本课中有多个类似说文解字环节，除了解读数学名词的含义外，旨在培养同学文本阅读、注重审题的习惯．

2 教学环节1：为什么要学习数列

本章的标题是《数列》，如何从字面意义来理解数列这个概念？不妨来一次说文解字，请同学发言．

刚才的鹦鹉螺与数列有什么关系呢？课本第30页上有数学家希尔伯特的名言：“数学学科是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系．”^[1]

鹦鹉螺外壳光滑如圆盘形状，在外形上像鹦鹉嘴，可以近似看成等角螺线．关于等角螺线，可以看一下苏教版必修五第68页习题14．^[2]

某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝，那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8，…．^[4]

设计意图：从字面意义理解数列概念，培养同学的数学直觉．利用课本章头图、章首语和课本习题，点明章头图与本章学习内容的联系，章首语所体现的数学联系．选择课本的习题作为素材，同样体现对教材材料的重视．

问题情境1：这首诗描绘出一幅优美的乡村风景画，诗中嵌入的数字依次是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10．因为数字的出现，原本朴实的小诗也成了经典，数字如此神奇．

问题情境3：一个很生活化的例子．首付2万元后，每天的付款金额为20，20,20,20,20，…．这个由常数构成的数列，对买车一族还是很有吸引力的．

问题情境4：本情境赏析兼具数学欣赏的功能．

课本上的这个案例，还有一个更普及的版本：斐波那契数列．

斐波那契数列，又称“兔子数列”，黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，是由意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250）在1202年提出的，因数学家以兔子繁殖为例子而引入，小小的兔子还沾了数学的光．数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和．

在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有广泛的应用．

斐波那契数列在欧美非常流行，比如在风靡一时的大片《达﹒芬奇密码》（2006年）里就作为一个重要的符号和情节线索出现，教授的女儿苏菲用斐波那契数列破解了密码，并战胜黑暗势力．欣赏视频1《达﹒芬奇密码》片段．

在《魔法玩具城》（2007年）里店主招聘会计时，也随口问了斐波那契数列问题．

没有斐波那契，就没有斐波那契数列；没有斐波那契数列，历史也不会记住斐波那契．

本环节的重点是通过几个现实生活中具体、丰富的数列例子说明对数列问题的研究，有些源于实际生活、生产的需要，有些源于数学知识内部发展需要，也从一个侧面说明了为什么要学习数列．

3  教学环节2：《数列》单元学习什么

3.1  数列的通项公式

在上面的例子，不难看出，数列中的项和其序号有着特别密切的关系．

等比数列的概念：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．比如1，2,4,8，16，…．

国际象棋发明者奖赏的故事，棋盘格子里的麦子分别是：

4  教学环节3:如何学习《数列》单元

1.数列问题中，数是基本元素，我们对数列的构成要特别敏感，数列是怎么构成的，对其应用有重要影响．同时细心计算也绕不开，数学运算和数据分析是重要的数学素养．

2.数列问题中“归纳—猜想—证明”是一种常见的探究思路，在前面的数列通项公式问题中，我们已经用了归纳的方法．“归纳—猜想—证明”也是我们破解一些看似无法下手问题的常规思路．

如刚才的国际象棋发明者奖赏的问题，先从简单的开始，可以猜想：

5  课堂小结

本节课我们从课本阅读开始，简单了解了《数列》单元的主要研究内容和学习方法，并欣赏了一些历史上著名的数列问题，从中不难发现生活中许多地方均有数列的影子，领略了数学的文化内涵和数学之美．

和同学们一起视频欣赏:斐波那契数列，再次回归数学阅读和欣赏的暗线．

6  课后作业

   1.阅读课本第31—33页，完成第33页练习1-5．

3.（选做题）数学阅读与写作题：阅读数列等相关材料，写一篇题为《邂逅斐波那契数列》或者《邂逅数列》的文章，文体不限，可以参考微信公众号“数学写作”中的学生作品．欢迎投稿至：[e-mail]，优秀稿件可以在微信公众号“数学写作”推送或者推荐到数学杂志发表．

设计意图：作业1，回归课本阅读，培养同学们的自学能力．作业2，是斐波那契数列的变形，使同学们体会到其应用．作业3，数学阅读与写作题，目的是引领广大同学关注数学阅读和写作，并试图以实际行动影响我们的同行．同时邂逅，在语境上对应前面的初见，再次点题．

二、教学思考

下面从课型选择、本节课的设计思路、数学文化进课堂的思考等方面呈现我们的思考．

2.1  我们对章节起始课的理解

由于课时紧张等原因，在日常教学中开展章节起始课教学的还不多，不少教师会忽略教材中的引言和章头图、章首语，或者仅在第一课时教学中一带而过．另一方面，不少学校采用导学案教学，往往导致同学忽视阅读教材．

随着课程改革的不断深入，教与学的行为逐渐聚焦“核心素养”，我们越来越重视教学过程中的返璞归真，课本中章头图、章首语等隐性课程元素，也逐渐体现出应有的教育价值，传统课型之外，章节起始课应运而生．虽然章节起始课的研究和实践时间不是很长，但其重要性和价值正逐渐为广大一线教师所慢慢接受．事实上，章节起始课的教学可以促进新知识的学习，具有先行组织者的作用．章节起始课教学能够帮助同学构建良好的数学认知结构，掌握基本的思想方法，感受数学应用的广泛性，对培养学生的数学核心素养大有裨益，应得到足够重视．

2.2  关于本节课的设计思路

章节起始课的设计应追求大利益、高境界，勾勒出特定内容的研究蓝图．

根据目前研究成果来看，章节起始课一般分为两种类型，章节内容和第一自然小节整合型章节起始课和整个章节视角下的章节起始课．

对于数列单元而言，两种类型的选择均有其合理性，关键是如何定位本节课的重心，第一种类型的教学设计可以参看罗建宇老师的文章《构建数学文化课堂落实核心素养教育》．^[5]

笔者尝试贴近实际，整合教材，进行整个章节视角下的章节起始课教学，试图向学生传递数学的整体观和研究数学新问题的基本意识．对数列单元而言，它的知识生长点是数列的概念和通项公式、等差数列和等比数列的通项公式和求和等，课堂教学时需要引导学生回顾已有的关于数列问题经验和熟悉的研究路径，一方面可以整体认识单元的学习内容，另外一方面可以让学生初步了解问题的研究思路．

选择整个章节视角下的章节起始课的原因或许在课题设计中已有所暗示，本节课安排了多个说文解字环节，比如数列的概念、等差数列、等比数列的概念等等，都是容易从字面上理解的，体现了教学环节中对文本阅读的训练，另外从学生已有的知识储备来看，等差数列和等比数列以及等差数列的求和公式，甚至在小学已经有所接触．至于学习方法建议中的归纳-猜想-证明的思路，其实前两个步骤在其他内容中已广泛应用，因此从整个章节视角来设计数列单元起始课是符合学生的认知规律的．

本节课按一明一暗两条线索展开教学活动：

第一条是明线：知识的线索．

主题回答以下几个问题：

为什么要学习数列？（生活、生产需要，数学内部发展的需要）

《数列》单元学习什么？（数列概念、通项公式、特殊数列等）

如何学习《数列》单元？（重视数列构成、归纳—猜想—证明）

第二条是暗线：数学欣赏的线索．

从图片欣赏，到诗词欣赏，到影视片段欣赏，到历史故事欣赏再到科普视频欣赏．潜移默化中完成了完整的数学阅读和欣赏过程．

当然后一条线索也启示了我们的下一个思考．

2.3  我们对数学文化进课堂的思考

2016年9月，教育部考试中心下发《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，数学考纲的最大变化是第一次明确提出在高考数学中考查数学文化.事实上，数学文化进入课堂教学和高考已经成了一种新的教学和评价的常态．

教材是最基本的教学资源，现行的高中数学教科书在每章开头处有章头图，配有章首语，这些课程文化的元素，启发我们应在教学过程中重视章头图、章首语的教学价值，从课本阅读开始，注重数学文化的渗透．比如本节中，数学家希尔伯特的名言：“数学学科是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系．”点明了数学问题的普遍联系．

数列单元中有丰富的数学文化的内容，这些需要我们在日常教学中引起足够重视．本课中的四个典型而丰富的数列问题情境，从古到今，雅俗共赏，有眼前的苟且（代步工具smart小汽车），还有诗和远方（庄子的哲学思考）．情境1中的数字入诗，情境2中的极限和无限等观点，有浓厚的数学文化味道．斐波那契数列的介绍和视频欣赏，更是本节课的亮点所在．高斯求和的故事和国际象棋发明者的奖赏的数列问题，让学生感受数学文化内涵，也是激发学习兴趣的很好素材．最后的视频欣赏，引领同学们从全新的角度认识数列的广泛应用，体会博大精深的数学之美．在本次章节起始课中，引导学生“用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界”，^[6]或多或少，我们接近和初步达到了核心素养下的课程目标．

2.4  本节课的不足

本节课的教学设计中，虽然多次修改，但最终在授课后觉得以下几点需要改进的地方：

1.教学情境中的案例可能过多，杂而不精，未达到精炼的效果．

2.在章节起始上，尽管我们定位在框架建构上，但仍然需要在知识性目标和欣赏性之间达到平衡，否则就可能失去了数学课堂的数学味，学生的思维训练没有有效提升．

参考文献

[1][2][3][4]单墫.普通高中课程标准教科书（必修五）[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2017：30,31,31,68.

[5]罗建宇.构建数学文化课堂落实核心素养教育．数学通讯.2018(10):9-13.

[6]洪燕君，周九诗，王尚志，鲍建生．普通高中数学课程标准（修订稿）的意见征询——访谈张奠宙先生[J]．数学教育学报．2015（6）:35-39．

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现