文卫星：引导学生欣赏与发现数学美 ----以极限教学为例

      本文发表于核心期刊《数学教育学报》2012.2，五易其稿，是该期作者中唯一一位中学教师。获全国第八届初等数学研究学术交流会论文一等奖

     英文摘要还请时任华东师大副教授李俊老师所写。

编者按：本公众号近期将推送若干篇数学文化和数学史方面的文章，欢迎朋友们继续关注和赐稿！

   开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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                     引导学生欣赏与发现数学美[1]

                        ----以极限教学为例

  上海市七宝中学  文卫星 （201101）

摘  要:数学既求真又求美．数学求真在于用数量关系和空间图形表达世界；数学求美则在于用美丽的图形、精炼的语言、简练的定理、公式给人类以视角和精神上的享受. 当我们与学生一起面对一个数学审美对象由表及里地捕捉和玩味那种更深厚的底蕴时，当与学生一起探索、发现数学美，并从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就在求真过程中同时欣赏和丰富了数学美的内涵．教和学便是一种美的享受！

关键词: 数学教学；数学欣赏；数学美；数学与人文

1 引导学生欣赏数学美

数学是科学和艺术的结合.科学求真，艺术求美，所以，数学既求真又求美．数学求真在于用数量关系和空间图形表达世界；数学求美则在于用美丽的图形、精炼的语言、简练的定理、公式给人类以视角和精神上的享受.数学美表现在多方面，几何图形的对称美，定理、公式的简洁美，而数学应用的广泛性反映了现实世界的和谐美与奇异美，有时甚至让人觉得不可思议，但对它的正确性又笃信不疑，只能为之折服，这又体现数学的理性之美．这也是数学吸引学生的地方之一．

笔者在教学中注意引导学生欣赏和发现数学美，收到较好的效果.以下仅以“极限”教学为例，来展示学生是如何感悟数学美和欣赏数学美的.

1.1 欣赏极限的意境之美

高中数学容易出现重视逻辑而忽视教学过程的意（情）境之美的情况，这在无形中挫伤了部分学生学习数学的积极性.而美好的教学意境不仅能调动学生学习数学的积极性，还有助于对所学内容的理解.以下是极限教学片断（在讲完极限定义之后）：

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[1]基金项目：全国教育科学“十一五”规划教育部重点课题----感恩教育与情感体验德育的实践模式研究（DEA060105）子课题：数学教学中的德育.

作者简介：文卫星（1958.9----），男，江苏沭阳县人，上海市七宝中学特级教师，主要从事高中数学教学.

极限是一个变化的、无限趋近的过程.诗抽象地描述了这个过程，画形象地表述了这个过程.一诗一画不仅能帮助学生理解抽象的、逻辑思维的极限，还能理解辩证思维的极限，体会到学习极限的乐趣.

1.2 欣赏极限的和谐之美

《辞海》中对和谐的解释是配合得适当.同义语有协调和匀称，就是说，各个原本可能是矛盾的个体相互协调、协同配合形成相容并包的情形.

  数学是和谐的.中学生能否理解，或能理解到什么层次？这正是我们需要研究的.各种数学理论在自然科学中恰到好处的应用，表现为数学与科学之间的和谐，学生是知道的，但对数学内部的和谐有时却不一定很清楚.比如极限的定义堪称是数学中和谐的典范：它同时出现无穷大和无穷小（上海教材表述为：当无限增大时，无限趋近于0），一对互相矛盾的对象统一起来，相互依存，何等和谐！

随着学习的继续，对极限和谐的理解也逐步深入，如求下列极限（教材中习题）：

开始不少同学认为极限都是0.当对是与无关的常数有深刻理解时，发现“有限个各自极限为0（无穷小）之和的极限是0，而无限个各自极限为0（无穷小）之和的极限不一定是0”，“真是量的积累引起质的变化！辩证法在此得到具体体现.”教师一句话，学生茅塞顿开.

1.3欣赏极限的奇异之美

    奇异美有着奇妙、新颖、出乎意料的特点.奇异中蕴含着奥秘和魅力，也蕴含着秩序和规律.奇异美体现在思维独特，其解决问题的方式、方法新颖别致，用“意料之外，情理之中”来表达是恰当的.教学中要紧密联系教材或选择符合学生认知水平的例子来展示极限的奇异美，比如现行的多种版本的高中数学教材谈到菲波那契数列：

这是学生事先怎么也想不到的.一个各项是自然数的数列，通项公式居然用无理式表示，其前后项之比的极限竟然是黄金分割！这让学生震撼：数学真是奇妙，简直不可思议，但又千真万确.

极限的这种奇异之美能极大地调动学生学习数学的积极性，正如庞加莱指出：“到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡，一句话就是井然有序、统一协调，从而使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解，这正是产生伟大的地方.”

以上虽然是以极限为例，我们还是借以发现高中生已经具备一定的感受数学美的能力．关键是教师不能单纯的传授知识和技巧，把数学讲成“冷冰冰的真理”，应该有意识地将数学美的教育融入课堂，让学生在耳濡目染中不断体会、认识和欣赏数学美．正如一个不懂绘画的人去参观画展，当听了专家点评之后，心里确实亮堂不少. 感受数学美也是如此.

2 引导学生发现数学美

在老师的引导下学生能欣赏数学美，多少带有被动的成分，能否发现数学美，变被动为主动？开始有些担心，在极限教学后，布置以“极限”为题的小作文，发现这种担心是不必要的.以下撷取部分学生作文，从这些文字中我们有理由相信学生能发现数学美.

2.1心灵深处的发现----由衷的赞美

极限定义看似纷繁又深奥，若能抓住本质，就会化纷繁为简洁，化深奥为生动；极限教学看似平淡，若能领会思想，就会在平淡中彰显不凡，展示数学美和辩证法.有些同学体会深刻，震撼心灵，由衷赞美，发自肺腑.薛娇写道：

也许，极限就是一条路，一条有尽头却走不到尽头的路.

它是最最珍贵的对美的感悟，感悟难以达到尽头，极限亦是如此.

这是一种何其华美的意境！

原来美到极致竟是极限.

望着这深邃的恒久之美，我久久沉默.

数学的美总是那样的精准与和谐，完美而没有斧凿之痕.

尽管这位同学的数学成绩一直不太好，但没有影响她在极限的学习过程中，从独特的角度发现极限之美.这也表明，数学美不是数学成绩好的学生的专利，恰恰相反，可能有些考试成绩好的学生对此没有什么深刻体会.郑祎初同学的观点或许具有代表性：

“将欲取天下而为之，吾见其不得已”是老子《道德经》中的一句话.意为“要想取得天下而违背自然裁割它，我看谁也不会达到目的.”同理“将欲分而为之，吾见其不得已”.若只想为高分而去学数学，那么即使你获得了高分，也永远无法领会数学的美妙.一生不解其美而一直在痛苦的学着数学，可悲哉，悲哉！“为者败之，执者失之”，违背本意而强制就毁坏了它，想强行把持它反而会失去了它.数学，不可强制，不可把持，只有无欲，才可体会到数学的美.

潘高峰同学则认为学习极限给他带来了快乐、兴趣与信心：

所谓极限，就是指永远无法到达，而人们又不肯放弃的一种信念，给人一种神秘与无限想象的空间.

我喜欢极限，因为它给我带来快乐，探索极限带来的快乐，让人久久难忘.

我喜欢极限，因为它给我带来兴趣，讨论极限带来的兴趣，让人回味无穷.

我喜欢极限，因为它给我带来信心，研究极限带来的信心，让人绝处逢生.

没想到学生对极限之美的理解是如此深刻，真是“给你阳光就灿烂！”体验数学美要深入地领会凝结在数字中、公式中、图形中、定理中精湛而深邃内涵．领会的越深入，理解的越彻底，美感就越强烈．

2.2 追求真理莫畏难----意志的磨砺

极限是高中数学教学中的难点，当老师引导学生闯关夺隘到达胜利的彼岸时，这一艰辛的学习过程对学生是一笔宝贵的精神财富，是数学教学给学生的特别馈赠.

陈希同学的感受：

世事如此神奇，一方面极限不可企及，另一方面却暗示着一个日臻完美的过程.梦想可能只是梦或空想，但当你挑战自己的极限，为着极限努力，挽住流光，澎湃生命，释放你的光和热，不知不觉间，你迈过、靠近人生一大步.极限是完美的又一代名词.

我在课堂上朗读了陈希的这段散文诗，让全体同学欣赏她的美文，鼓励她以“极限精神”学好数学，对她发现学习数学的快乐感到高兴，因为她是一个小说迷----别人回家做作业，她回家看小说，这在高中学生中是少见的，家长很无奈.

极限是一个无限趋近的过程，在这个过程中蕴含着量变到质变，尽管教材中没有提及，但在教学过程中还是被同学们发现了.周盈盈的观点或许具有代表性：

原先只在“滴水穿石”等文字表达上体会过从量变到质变，但数学却能用一个数学表达式表示出来.数学的力量果然是强大！数学老师上课时还时常引经据典，将数学与诗结合起来，或是用数学解释诗，或是用诗将数学形象化，总之是文理结合.虽然每次只是一点点，但时间长了，一定能发生质的变化.

周盈盈对极限的理解已经有些哲学味道，章林珊则从极限学习的角度来磨砺人生：

就因为我们从未接触过极限，它才显得如此深不可测.但有时你“暮然回首”就会发现“那人正在灯火珊瑚处”呢！人生之中，每一点都是起点，也是终点.你怎知道它不是无穷远处那个？或者你只是雾里看花，分不清真的虚的罢了.把每一点当作极限来追求，才是活出风采的王道.

    由极限学习激发了学生想到要“活出风采的王道”，说明数学的教育功能是如此之大，又如此之平凡，不是高不可攀.

    对学生毅力、意志的培养是数学教学的重要任务之一，应该有机融合在教学的各个环节中.但不能贴标签，要潜移默化，通过具体的教学活动让学生感受到、认识到顽强的意志对学业的进步是重要的，使他们有信心去面对学习和生活中的困难和挑战，并在克服困难的过程中磨砺意志、茁壮成长.

2.3蓦然回首阑珊处----迟到的彻悟

随着极限的深入，学生对极限的理解逐步深化，对以前某些模糊的问题有了准确的理解，而且有的同学还能提升到精神和哲学的层面，尽管不是那么深刻，还是值得高兴的.这可以从学生写章末小节（具体做法请参见文[2]）的体会看的出来.叶蔚写道：

学习数学的过程，便是一个思想转变的过程，当我们还是小学生，沉浸在永远小于1时，我们认为这便是真理.而极限的出现，为我们展现了一个奇妙的世界.苏轼说过：“天地曾不能以一瞬.”极限的取得，同样是步步深入、层层递进的.正如佛家有“万佛归宗”的说法，极限何不是完美地体现了这一点.数学不仅与我们的现实生活紧密想联，其中更包含了许许多多的哲理.学好数学，不仅要学习数学技能与解题技巧，更要领会其思想方法中所蕴含的意义，达到精神的提升.

这样简短的式子给学生带来如此大心灵震撼，有助于学生突破传统思想束缚，深刻体会事物从量变到质变规律.

数学中一个美的图形，一个美的式子，一个疑难问题的解决，都能唤起学生潜意识中的数学美感．如果给学生机会，这种美感就会表现出来，就会激发学生的自信心、自豪感，庞家莱说“数学的优美感，不过就是问题的解答适合我们心灵的需要而产生的一种满足感．”教学中，注意发掘数学美的因素，培养学生的审美心理和审美意识，让学生认识到数学也是一个色彩艳丽的世界，就可以改变数学枯燥难学的误解，激发学习数学的积极性．

3 数学美与数学人文精神

数学的美学价值已经载入《普通高中数学课程标准（实验）》，但在日常教学中如何把数学美落到实处，还只能依赖教师个人对这一问题的重视程度，以及对相关问题的理解和认识.正如罗丹所说：“世界不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛.” 数学之美，需要人们用心、用智慧深层次地去发掘，才能更好地体会其美学价值与丰富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响．如果在教学过程中，我们能带领学生一起探索、发现数学美，并从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就在求真过程中同时欣赏和丰富了数学美的内涵．

数学美是数学人文精神的一种有效载体.

所谓人文精神，是一种以人道、人生、人性、人格为本位的知识意向、价值意向.它在本质上是以人为中心，强调人的情感，人的体验，求善求美理性兼顾；而科学主义，是一种以大自然为本位的知识意向、价值意向.本质上注重分解和抽象描述，高扬理性，漠视人的情感.数学人文精神，有机地融合人文与科学的价值取向，是数学特质的人文精神.

3.1挖掘教材人文因素，培养学生人文精神

教材的章头图、章头语、阅读与思考、探究与发现、实习作业以及旁注等栏目，尤其是旁注中的名人介绍、特殊约定、补充说明等都是培养学生人文精神、提升人文素养的好素材.

在极限定义教学中，我把教材章头语中的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”形象化：面向学生，我手中的塑料棒（此棒在折断时要能发出清脆的响声），设长度为1个单位，从中间要把它折断（边说边演示：两只拇指按住塑料棒中间用力折），当要断还未断时会发出吱--吱声，此时停住问学生：设此时塑料棒所受的力为P牛顿，若再用点力，塑料棒就要断了，要保持塑料棒不断，它所受的力就不能超过P牛顿，这P牛顿的力就是塑料棒所承受力的   .学生大都能回答：“极限”.

在此情景下引入极限的定义不仅是水到渠成，而且还在上课伊始就让学生有一种愉悦的情绪体验，对后续课的学习很有利.

3.2充分利用数学史料，提升学生人文品质

数学史不仅是对学生进行爱国主义教育，同时也对学生进行历史唯物主义教育.具体地说，就是让学生了解我国古代数学和科学的辉煌成就，激发学生的民族自豪感和学习数学的积极性；让学生了解并继承数学的理性精神；让学生了解中西数学的特点，我国古代数学以解决实际问题为主旨的发展过程中，建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的公理化演绎体系正好遥遥相对，可谓东西辉映 ；让学生了解为什么我国数学能在领先世界千年，却在欧洲文艺复兴以后至今的几百年落后了.这近似于“李约瑟难题”，学生嘴上不说心里也会有类似的想法.

这些问题的落实，要有机贯穿于课堂教学之中.笔者曾经结合教材介绍刘徽的割圆术中蕴含极限思想，但极限最终没有在中国产生，学生在章末小结也有回应，戚尤唯写道：

从主观上讲，我国是长期受封建帝制约束的农业大国，产业偏向决定了我国不可能像西方一样产生近代数学，因为一个农业民族思想是保守的.从客观上讲，古代中国缺少数学研究的有力武器——数学符号，没有了数学符号，那许多概念或研究成果就无法通过书面的形式流传推广，也无法进行更深入的研究.所以，中国数学在近代落后于西方.

这段话从政治制度和技术手段上说明中国近代数学落后的原因，尽管不全面，但还是深刻的.也有同学认识到，近代中国没有现代工业，由于珠算的普及解决了大量的工商贸易等计算问题，客观上也缺乏数学发展的动力.

数学史对提高学生的数学人文修养，提升学生的人文品质是不可多得的极好素材.

3.3在解题中揭示哲理，丰富学生人文素养

   数学教师不仅要会解题，还要让学生乐于上数学课，就必须提高教师自身的教学艺术，使学生感到听数学课是一种享受.要做到这一点，教师既要练好数学解题基本功，更要重视自身的人文修养，即工夫不仅要在数学内，还要在数学外.多读一些数学史、科学史、数学哲学、美学、文学艺术类书籍是很必要的.只有提高教师自身的学养，才能无痕地展示在课堂教学中，丰富学生的人文素养.

教师点评道：“通过本例的学习，我们体会到用常规方法求解困难时，就要想到转化，只有当你能从多角度、以广阔的视野思考问题时，才可能柳暗花明、峰回路转，才能体会到‘进一步景色迷人，退一步同样海阔天空’的人生的哲理”同学们报以热烈的掌声．

3.4利用教师人格魅力，提升学生人文品位

    如果教师能熟练地驾驭教材，并能用灵活教学方法开展教学，表明你有教学魅力.如果你还能用爱心和真诚去感化态度差的学生，用耐心和智慧去帮助基础差的学生，则表明你具有一定的人格魅力.人格魅力对学生的影响不仅是提高学习成绩，还在于把爱的种子播撒的学生的心坎里.

 学生看出来你的表扬是真诚的，乐于接受.这表明感化和帮助要有教学艺术，而利用数学知识来激发学生学习动机，提高学习兴趣，改进学习方法，学生会有亲近感，效果自然好.

3.5建设数学课堂文化，充实学生人文内涵

    我们可以把数学教学分成三个层次：第一层次是基础知识和能力训练，第二层次是把知识和能力纳入数学文化之中，而从数学文化中提炼出数学人文精神则是第三层次.课堂教学只有达到第三个层次，学生才能感到听数学课是一种享受.

在极限定义的课堂小节中，把“无限趋近”思想概括为“极限精神”：

  明知不可企及，你却锲而不舍，历经各种磨难，终近理想彼岸.

你的坚韧精神，世人代代相传，每逢攻坚关头，高呼挑战极限！

（这是笔者自己对极限的感受，课堂上激情朗诵，感染了学生，使得在下课前，课堂气氛又一次出现了高潮）

前四句说出了学习、理解极限定义的困难，后四句鼓励学生要敢于直面困难、战胜困难.这既有教学意义，又有教育意义，还提升了课堂的文化氛围.教学情景是教材中没有的，要依靠老师在教学实践中根据教学内容、学生的具体情况来创设，体现了老师的引导作用.

如果我们把不胜枚举的诗词佳句恰当地引入课堂之中，充实学生人文内涵，用文学语言的魅力去点缀数学教学，使两者相映成趣，则使数学教学更加引人入胜.

我们不强求每节课都能把知识、能力与人文教育融于一体，但只要努力去做，就会营造既有知识深度，又有思想高度和文化厚度的课堂.

四、结束语

数学美有时能够深刻地影响学生的思想情感．当我们与学生一起面对一个数学审美对象由表及里地捕捉和玩味那种更深远的底蕴时，当我们与学生的心一起随着审美对象的旋律跳动时，一定会产生出最佳的教学效果．那时师生都会沉浸在数学美的特定情境中，教和学便是一种美的享受！这也可以从学生的习作和课堂表现中感受到.

不仅要引导学生欣赏数学美，更要留有一定的时间和空间让学生发现数学美.以上一些例子表明学生的审美能力不可低估.只要我们不把学生当成解题机器，最终学生的数学能力（暂且以高考成绩来体现）和数学文化修养二者可以兼得. “尽管有一天，我们会忘记定理和公式，但是您带给我们的数学美将会永远铭记在我心中.”这是在写好本文后整理资料时，发现往届毕业学生来信中的一句话，摘录作为本文的结尾，相信数学教师都会有类似美好的回忆.

参考文献

[1] 文卫星.数列的极限教学实录[J].数学教学通讯，2006,1:30.

[2] 文卫星.指导学生写章末小节的方法和体会[J].中学数学教学参考，2002,1-2:16.

[3] 文卫星.超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育[M].上海：上海社科院出版社，2009.11.

[4] 严士健、张奠宙、王尚志.《普通高中数学课程标准（实验）》解读[M]（P369）.南京：江苏教育出版社，2004.4.

[5] 文卫星、张文源.数学人为精神之我见[J].数学教学，2002，4:4.

[6] 吴文俊. 九章算术与刘徽[M]. 北京：北京师范大学出版社，1982.

[7] 文卫星.数学教学中的育人艺术[J].中学数学教学参考，2003，7:13.

[8] 刘咏梅等.关于数学文化的几个问题哲学思考[J].数学教育学报，2009，18（2）：18.

[9] 杨泽忠、陈焕法.中学CAMI过程中数学美的教学研究[J].数学教育学报，2010，19（3）：86.

[10] 顾沛.数学的美在于数学思想深刻之美[J].数学教育学报，2011，20（4）：3.

Guide your students to value and discoverthe beauty of mathematics: take the teaching of limits as a case

Wen Weixing

（Shanghai Qibao High School，Shanghai 201101，China)

Abstract: Mathematics seeks truth andbeauty. It describes the truth of the real world by mathematical expressionsand graphs. It reveals mathematical esthetics value through beautiful graphs,explicit language, and concise theorems and formulas. When we investigate anddiscover the beauty of mathematics carefully with our students,we obtain thetruth and enjoy the happy learning experiences as well.     

Key words: mathematics teaching and learning, valuemathematics, the beauty of mathematics, mathematics and culture

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现