​河北名师殷玉波：欣赏椭圆

本文发表在中学数学教学参考2011年1-2期，后面有张奠宙先生的点评。

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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殷玉波，河北省保定市第三中学数学高级教师，《中学数学教学参考》杂志编委。主要研究方向有高考备考和数学文化与数学美。2009年至今，在《中学数学教学参考》、《数学通讯》等国家级学术期刊发表文章70多篇，其中5篇被中国人民大学资料复印中心《高中数学教与学》全文转载。

欣赏椭圆

河北保定三中殷玉波

有人说“圆”是一条“伟大”的曲线，它和人类文明的进步有巨大的关系.我们认为只有圆的世界是单调的，没有椭圆的世界是不可想象的.椭圆是一条有色彩的曲线，科学发展史上有着可歌可泣的故事，在现实中装扮着我们的生活，在数学教育中扮演者重要角色.欣赏椭圆我们主要从以下几个角度入手：

一、从开普勒到嫦娥飞天，欣赏椭圆应用之美

在开普勒之前，阿波罗尼椭圆一直受到人们的虐待和歧视，欧几里得《几何原本》中都没有她的地位，因为她不如圆那样完美.古希腊人认为，天体是神圣而完美的，轨道非圆莫属，形状非球莫属.

开普勒用第谷的火星数据，花了4年时间，做了不下70次计算，火星沿日心经度的计算总是与正圆轨道相差八弧分，即0.133度.开普勒说，“这8分的误差是不能忽略的.”经过激烈的思想斗争，开普勒最后决定与圆决裂.他先后用了蛋形、胖面型等多种非圆曲线进行拟合，但都失败了.最后他尝试采用两千年前古希腊阿波罗尼椭圆去拟合，结果获得成功.

开普勒第一定律（又称椭圆定律）的表述是：所有行星的运动轨道都是椭圆的，太阳位于椭圆的一个焦点之上.现在这一定律已经广泛应用到科学和生活中.

看着木匠师傅拿来一张与玻璃窗一样大的硬纸片，在纸片上钉上两个铁钉，然后找来一个线绳拴在两个钉子上，用铅笔将线绳绷紧，顺势一画，一个漂亮的“鸭蛋圆”就产生了！

等上了中学才知道，师傅画椭圆的原理是椭圆的定义.后来当了数学老师，每次讲到椭圆时，我都用这个例子引入，学生们都说：数学真好！

还有一个例子也是笔者的亲身经历.笔者任教的学校门口要建一个大花坛，校长说花坛要椭圆的，可是瓦匠师傅不会画椭圆.瓦匠师傅向我说起这事，我很快就教会了他椭圆的画法.师傅见到我就说：数学原来不只是算个数啊，数学还真有用！

我问过很多人喜欢椭圆的原因，他们大多数人认为圆太过“丰满”，而椭圆可根据自己的需要“丰满”适度.仔细想来，确实有道理，象嫦娥二号绕月球运行.我们可以根据需要控制椭圆的扁与圆程度，找到最近的探测点（如图1）.

椭圆的可“圆”可“扁”称的上“淡妆浓抹总相宜！”

欣赏椭圆是从“画”椭圆开始的.比如达.芬奇画蛋，基本功是画椭圆，可见要想徒手画好椭圆确实不容易.小时候到河边捡鹅卵石，怎么比谁的石头漂亮呢？把石头放在平整的沙滩上，用小手指绕石头一周，谁的椭圆最美是评价石头好看的重要标准之一.

后来上了中学，老师又教给了两种画法，同心圆法和四心圆法.

三、从学术形态欣赏椭圆，感受数学之理性精神

只从外型上欣赏椭圆，这不是数学，应该是美术.从数学上如何欣赏椭圆？

一次省公开课比赛，讲课内容是《椭圆的定义》，老师拿着一个盛了半杯水的透明圆柱形玻璃杯走进教室.上课了，老师拿起杯子喝了一口，下面的评委老师和学生都很惊诧，怎么公开课上老师还喝水？正当人们惊诧时，老师把杯子放平，说：同学们，看看我杯子里的水平面什么形状？学生说：圆形.老师把杯子倾斜，“现在水面什么形状？”学生们说：椭圆.至此，同学们才恍然大悟！原来今天讲椭圆，而且椭圆是用倾斜的平面截圆柱（或圆锥）得到的.

证明1：如图5.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切.两个球分别与截面切于点

E、F，在截口曲线上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C，B.由球和圆的几何性质，可以知道：AE=AC,AF=AB,

于是     AE+AF=AC+AB=BC.

由切点B,C产生的方法可知，它们之间的距离BC是定值.这样，截口曲线上任意一点A到两个定点E,F的距离之和为常数.

由椭圆的第一定义可知，截口曲线是椭圆.

数学史记载，希腊数学家Apollonius（阿波罗尼奥斯）（约公元前262——前290）第一次从一个对顶锥得到所有的圆锥曲线，并给他们命名.他的传世之作《圆锥曲线论》是在前人工作的基础上创立的相当完美的圆锥曲线理论.可以说，这部以欧几里得严谨风格写成的巨著是希腊演绎几何的最高成就.但是，他用纯几何的形式使著作本身晦涩难懂，同时也使其后数千年的几何学裹足不前.直至17世纪笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越.

证明3.用代数方法证明截口曲线是椭圆.

茶杯的上沿是圆形，从茶杯正上方观察到的也是圆.但是当茶杯平放在桌面上，坐在桌子旁边观察茶杯上沿，看到的却不是圆，而像是一个横向不变、纵向被压扁得到的“扁圆”，我们称它为椭圆.

从而证明截口曲线是椭圆.（如图8）

我们还可以通过给r和b赋值，通过计算机验证所得曲线是椭圆.

对比三种证法，不能仅仅满足于证法3的简单，应着重欣赏其背后蕴含的重要思想和重大意义.

解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑.她用代数取代几何，用思维取代眼睛！她使数学的研究方向发生了一次重大转折：以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学；促进了微积分的创立；代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚，帮助人们从现实空间进入到虚拟空间.可谓是“道通天地有形外，思入风云变态中！”

四.从教育形态来欣赏椭圆，感受美能启真：

下面是笔者上课的一个片段.

欣赏，是教育的一部分.在数学教育中增加欣赏的环节，可以使许多人喜欢数学，走进数学，逐步体会到数学的至高至纯的美，而美是真理的光辉，依靠这种光辉可以照亮认识数学真理的道路，并给探求者一种认识真理的内驱力.

【张奠宙点评】欣赏椭圆，是一个好题目。椭圆之美，就在生活中。我们用“圆圆的”来形容孩子脸，而对成人，则用鹅蛋脸来形容，实在是指椭圆。圆不如椭圆美，和正方形不够美，符合黄金分割比例的矩形才美，道理相同。本文从直观的鸭蛋圆，到阿婆罗纽斯的几何椭圆，再到坐标系下的代数式椭圆，层层递进，很有兴味。不过，最令人惊诧的是，行星绕日运动的轨道，以及嫦娥二号的绕月飞行轨道都不是圆，而是椭圆。造物主的设计实在出人意料，但是最终此结论可由牛顿力学加以证明，却又在意料之中。这真是科学的大美。文章后半段，涉及课堂教学中的美学设计，随手拈来，不觉生硬。此文一气呵成，兼有文采，值得一读。

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