河北名师：简易逻辑欣赏片断

发表在《中学数学教学参考》2011年第12期

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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殷玉波，河北省保定市第三中学数学高级教师，《中学数学教学参考》杂志编委。主要研究方向有高考备考和数学文化与数学美。2009年至今，在《中学数学教学参考》、《数学通讯》等国家级学术期刊发表文章70多篇，其中5篇被中国人民大学资料复印中心《高中数学教与学》全文转载。

简易逻辑欣赏片断

  殷玉波（河北保定市第三中学）

北宋大诗人梅尧臣（圣瑜）在《续金针诗格》说，“诗有内外意，内意欲尽其理，外意欲尽其象.内外意含蓄，方入诗格”.其实一切文字表达都有内外之分。外面是丰润的形象思维的表达，里面则是坚挺的逻辑骨架。文要尽其理，必须遵循逻辑。逻辑是一门大学问。本文结合几个片断来欣赏逻辑的魅力。

一、数学语句的逻辑简约美。

     鲁迅名篇《秋夜》的第一句是：“在我的后园，可以看见墙外有两株树，一株是枣树，还有一株也是枣树。” 你如果慢慢体会，就会感觉到一种孤寂。院子外边其实什么也没有，除了枣树还是枣树。    文学语言可以这样写。数学就不可以了。如果你说：“这里有两个图形， 一个是三角形， 另一个也是三角形”。那就会叫人笑掉大牙， 因为太罗嗦， 数学之美在于简洁。

再说一个笔者经历的故事。那天我的课是简易逻辑的习题课，一个学生迟到了，他低着头走进教室。我于是说：“这位同学你不仅迟到，而且来晚！”全班人大笑，迟到者也禁不住笑了.

“你们笑什么？”

“数学老师不讲逻辑！”学生们边笑边说.

总之，使用不仅而且的说法， 在两个概念的的外延集合完全相等、或完全不相交的情形下是一定不可以的，但在两个集合不等但有交集的情况下会有意义。

    这种细致的区别，体现了逻辑的简洁和准确。

二．命题之间的充要条件显示逻辑之“完善美”

数学中有很多判定定理和性质定理．要判定一个东西是什么，在什么条件下这个事物是另一个事物，实际上用到的是充分条件。数学中的性质定理，是说某某事物具有什么特征，满足什么条件。这种条件是认定该事物的必要条件。

 “不管黑猫还是白猫，捉住老鼠就是好猫”， 这是一句名言，其内涵是给出了一个判断好猫的充分条件。但是，能捉住老鼠固然是好猫，而不能捉老鼠的猫也可能是好猫。例如，波斯猫很漂亮， 引人喜爱， 价格不菲，也是好猫啊。很多人认为， 要做好猫必定会捉住老鼠， 即是成为好猫的充分且必要条件，那是错误的判断。当然， 如果你定义的好猫就是能捉老鼠，那就另作别论了

性质定理是认定原始对象的必要条件， 却不一定是充分条件。王老师是山东人，1970年出生，身高1米80，戴眼镜等等都是他的“性质”， 也就是认定王老师的必要条件。但是光靠这几个条件，不一定能断定他就是王老师， 即不是充分条件。1970年出生的戴眼镜的山东高个子多着呢， 不止王老师一人。

充要条件则是更为重要的一个数学思想，它的内意是等价。两条直线平行的性质是同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质。可是这三条既是必要条件， 也是充分条件，即充要条件。  面对一个数学事物，抓住它的核心特征，能够加以确认，那是何等重要的事情? 公安部门追捕逃犯， 就得把握他的独有特征， 进行同一认定。

数学中的许多概念有不同的定义， 他们彼此间都互为充要条件。例如两条直线的垂直关系，可以有三个角度来描述：

l几何的判断。两个直线垂直，就是两个直线所呈的夹角是。

l解析几何的判断。两条直线斜率的乘积等于-1。

l向量的判断。两条直线的方向向量数量积为0．

这三个判断互为充要条件，即彼此是等价的。数学上从不同的角度描述同一个对象， 彼此等价。找到数学对象的充分必要条件， 是一道很靓丽的风景。

三．数学判断中量词的逻辑形式之美。

   形式逻辑上有全称判断和特称判断之分。全称判断的否定是特称判断，特称判断的否定是全称判断。

  要否定“天下的乌鸦一般黑”， 你只要找出一只乌鸦不是黑的就可以了。“存在一只乌鸦不是黑的”这一特称判断中隐含了另一个量词：，意思是存在一个（某一个）。

量词在否定一个命题时是互相相反的。在数学上要否定一个全称命题，也需要把其中的量词“任意一个”改换成“存在一个”。例如， “任意两个三角形，若有两边一角相等（条件S,S,A）, 则两个三角形全等”是一个错误命题。要否定它只需举出一个反例来就行了。另一方面，有位同学说我们班上有某个同学身高超过1.90m。要否定它，则必须一一检查班上每一个同学身高都不超过1.90m， 一个都不能少。

常常犯的一个错误是，否定一个判断时把结论否定了， 但是量词没有更换。

日常生活中这样的事例很多。否定“天下乌鸦一般黑”， 就说“天下乌鸦都不黑”。否定:“最近3天没下雨”， 就说“最近三天都下雨”。你说：“我篮子里的每个鸡蛋都是好的”，我只要从篮子里拿出一个坏鸡蛋就把你否定了。可是一个错误的否定说法是“篮子里的每一个鸡蛋都是环的”。

数学上要否定“△ABC是锐角三角形”，有的同学时会说成“△ABC三个角都不是锐角”等等，成为笑话。

量词对于数学概念的生成极其重要。

数学欣赏超越了简单的理解和求证的过程，是一种融会贯通之后淋漓尽致的快乐甚至幸福. 每当欣赏这几个常用逻辑用语，就想起朱自清《荷塘月色》中的句子，“曲曲折折的荷塘上面，弥望的是田田的叶子.叶子出水很高，像亭亭的舞女的裙.层层的叶子中间，零星地点缀着些白花，有袅娜地开着的，有羞涩地打着朵儿的；正如一粒粒的明珠，又如碧天里的星星，又如刚出浴的美人”.这几个逻辑用语就像这荷塘里的荷花，带给我们别样的清香和美感.

参考文献：

1.刘绍学主编.高中数学课程标准教材必修1.人民教育出版社.2007

【张奠宙点评】在语言文字中，逻辑无处不在。哲学系有《形式逻辑》课程，中文系有《语法、修辞、逻辑》课程，都是研究逻辑的。文学语言也要讲究逻辑。但是，唯有数学是直接运用逻辑、以逻辑为美的学科。本文引用鲁迅《秋夜》中的名句，看到文学语言和数学语言的差别，值得深思。

    数学课上所讲的逻辑，即简易逻辑的学习，不在于逻辑规则的表述，而在于运用。“和”与“或”、四种命题、充要条件可以有无数的测试题供演练需要。熟练运用了，就能迁移到其他学科。

逻辑规则看上去是冷冰冰的。但是，本文联系一些生活上的事例，包括自己经历的一些教学故事，平添一份情趣。

文中略微提及了一些数理逻辑方面的知识。数理逻辑是全盘符号化的，适合计算机语言的要求。例如，量词的使用，复合命题的蕴涵关系等，今后都会成为常识。现在许多老师还不大熟悉，是高等师范教育的一项缺失。

本文作者是一线数学教师，能对欣赏逻辑发生兴趣，仔细钻研，难能可贵。我曾对本文提过许多建议和补充。文章如有缺陷，我也负有责任。

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