河北名师殷玉波：基于数学文化的高中数学课堂教学素材的选择及运用

本文发表在中数参2018年第9期，同时本文获得河北省第八届基础教育成果三等奖，是唯一论文参赛获奖。

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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殷玉波，河北省保定市第三中学数学高级教师，《中学数学教学参考》杂志编委。主要研究方向有高考备考和数学文化与数学美。2009年至今，在《中学数学教学参考》、《数学通讯》等国家级学术期刊发表文章70多篇，其中5篇被中国人民大学资料复印中心《高中数学教与学》全文转载。

基于数学文化的高中数学课堂教学素材的选择及运用

殷玉波（河北保定市第三中学）

注：本文是河北省“十三五”规划课题“探求中学数学教学中数学文化与数学美的实践研究”阶段性研究结果（课题编号1604021））

课堂教学中如何由数学文化达成数学教育，一个比较现实的做法是使数学文化融入到学生的数学学习之中。《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标2017》）中明确指出：数学文化融入课程内容（文献1）。表明数学教学不仅需要重视数学知识传授、智力开发等学科本身的文化价值，还应注意学生数学认知具有文化相关性，遵循文化认知特点。所以，对于广大一线教师来说，基于数学文化的高中数学教学素材的选择及运用非常迫切。

1.对数学文化的认识

1.1数学文化的核心是数学

文化内涵至少包含5个方面：知识、思维、方法、原则与精神。知识是文化的载体，没有知识就没有文化；思维是文化的关键，没有思维的知识是僵死的，不能增殖，“学而不思则罔”；方法是知识、思维通实践的桥梁，学、思、行为一体知行合一，不可分割；原则是文化的精髓，它融于前三者之中，并指导前三者。精神是文化的灵魂（文献2）。特别指出，前四者属于知识方法范畴，是“才”；“精神”则是“德”的范畴。《课标2017》中说“数学文化融入数学课程”，就是指这五个方面及相互关系。

《课标2017》有两条线索。一条是数学学科的角度，聚焦数学核心素养。概括为3个层次：四基、四能；六个核心素养，三会；数学精神（情感态度价值观）。其中四基、四能是数学核心素养形成与生长的沃土；三会是核心素养的具体体现；数学精神则是核心素养的升华。（文献3 ）

另一个是数学教育的角度，聚焦“立德树人”。《课标2017》强调：“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用”。所以，数学教学中的“立德树人”就是充分发挥数学的“独特”、“不可替代”的作用，完成立德树人的教育目标。

如前所述，数学文化也有三个层次，第一层是数学的概念和知识，包括各种定理、原理、理论等；第二层就是数学学习和研究的思维、方法和原则等；第三层则是数学的精神，包括从事工作应有的态度和品格等。所以，数学文化的核心是数学。

1.2 高中数学教学中数学文化素材首先来源于教材

我们每天的数学教学就是数学文化的教学，只是大多数课堂教学主要集中于数学的知识与方法，很少涉及精神层面。数学文化浩如烟海，素材选择是关键。素材选择从教材入手。

教材中的数学文化大致分为3类，即数学史、数学与现实生活、数学与科学技术。

数学史又分为显性数学史和隐性数学史两部分。显性数学史包括数学家肖像、数学家生平简介，数学史事件、概念、公式、定理的历史、历史名题等内容。隐性的数学史包括根据数学史改编或基于历史材料编制的数学问题以及借鉴、重构历史顺序的概念发生发展过程。

数学与现实生活可细分为6类：日常生活、学校生活、社会生活、娱乐生活、经济生活、职业生活。

数学与科学技术分为生物科学、地球科学、物质科学、高新技术。

还有数学与人文艺术。根据艺术形式的不同，有数学与美术、音乐和建筑等。（文献4）

文化素材的选择源于教材，高于教材。

2.高中数学教学中文化素材选择的几个方面

数学文化浩如烟海，高中数学教学中只能采撷一些小小的浪花。下面举例说明日常教学中文化素材选择的几个主要方面。

2.1选择人类文明进程中的重大事件

人类历史上的每一个重大事件的背后都有数学的身影：哥白尼的日心说，牛顿的万有引力定律，无线电波的发现，爱因斯坦的相对论，孟德尔的遗传学，巴贝奇的计算机，三权分立制度的建立，一夫一妻制，马尔萨斯的人口论，达尔文的进化论，达芬奇的绘画，DNA的双螺旋凝结的打开等等。高中数学日常教学中并不需要在课中对这些专门进行宣讲和劝喻，只要留心，稍微发挥一下就可以。

案例1：等比数列前n项和

笔者指导本校一位青年教师参加公开课比赛，讲课内容是《等比数列前n项和》。课题引入有以下三个方案：

第一个方案：奖励国际象棋的发明者。国际象棋的发明者传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明者的要求吗？

   第二个方案：某人去公司求职，薪金待遇有两种。一种是底薪2000元，以后工资按每月100元递增；第二种起薪0.1元，以后每月按上月工资的2倍递增。假如你是这个求职人员，你选择那种薪资标准合算（待遇高）？

   将等差级数和等比级数求和做比较的例子很多。以上这两个，有点趣味性。都有文化意味，因为涉及人的生活了，就有文化意味了。但是，思路1趣味性强，思路2格局不够大。两个例子都缺少正能量，不能给学生心灵以启迪、震撼。最有价值的数学文化，是数学在推动人类文明中的作用。

第三个方案：用马尔萨斯人口论进行引入。马尔萨斯人口理论是数学影响人类社会历史的一个重要案例。马尔萨斯的理论说，粮食问题成等差数列增长，人口按几何级数增长。显然，大自然不能满足人类日益增长的需要。食物不够，怎么样解决这个矛盾？按照马尔萨斯理论，灾难、疾病、战争还是计划生育？

教材的这道例题实际上是等比数列问题。受这道题的启发，可以从网上找到相关粮食、人口增长的数量，将这道例题改编，列出对应表（列表的目的是多观察思考减少计算），启发学生思考，“网上很多人吐槽，说新闻联播说我国的粮食产量连续20年大丰收了，可是我国每年还要大量从外国进口粮食，你怎么看？”

这应该是数学文化教学的优秀案例。

不可否认，数学育人的功能首先体现在培养人的思维能力方面。它是极好的思维训练手段。不仅培养人的抽象能力、逻辑能力，还能培养人的形象思维、直觉能力，因此，数学被誉为“思维的体操”。这也是长期以来数学教学的出发点和目的地。

但是，“这个学科（数学）能把灵魂引导到真理”（苏格拉底）。这个案例不仅体现了数学在人类文明进程中的重大作用，还教给学生运用所学知识理性思考社会问题，分析判断是非的能力，帮助学生树立正确的人生观。

应该摒弃把数学等同于演算科学的看法，关注数学作为一种人类文化创造的本质特征，从而以更广阔的视角去透视数学，领悟数学的社会意义和文化意义。进而更好的理解和把握教学内容的数学本质，为教学服务。

这个案例给我们教学以下几点启发：

1）思路一和思路二比较常规，深刻分析其不足，引发联想；

2）联想的源头是数学在人类文明史上重大意义的问题，这需要有所了解；

3）素材源于教材中一道习题，最后进行改编。

4）文化类习题的改编，数据要真实，借助网络搜索实现。

对数学文化素材的选择，本案例是一个普适方法。“数学文化融在数学课程中”，当然首先融在教材中，所以深挖教材，产生联想，然后求助网络或资料进行改编，融入到课堂教学中去。

一些老师认为这道题没有价值，不讲或删掉。

如果从考试来看这题确实没有什么价值。如果从数学的角度这道题涉及曲线与方程的定义，而从科学的角度来看这道题意义非凡。比如，人类一直认为地球的运行轨迹是圆，后来发现不是圆。是什么呢？天文学家们通过观察得到了大量的数据，用这些数据分别带入各种曲线的方程去拟合，后来发现这些数据都满足椭圆的方程，于是得出地球的运行轨迹是椭圆。这个人就是开普勒。当然，这个过程其实非常复杂，但原理与这道题一样。这道例题的意义是告诉学生一种科学研究的方法。所以，这道题不能删掉。

看似平常的问题蕴含着丰富的数学文化。课堂中渗透这些数学与科技生活等内容，会使课堂得到升华。

对这道题的认识，源自科学中的数学原理。

2.3 紧密联系现代文明

数学对所有人既熟悉又陌生，熟悉的是我们天天在使用，陌生的是我们不知道数学不能解决什么问题。人工智能的大量使用，让人类文明进程加快了步伐。人工智能的核心是数学，数学老师对此应该有一些了解。

这么多年以来，笔者还从来没遇到过这样的问题！

随便一个法向量就可以了。当然，为了后面方便计算，我们尽量取整数。其次，前面我们证明立体几何的有关问题时，比如线面垂直，是用逻辑推理步步为营推导出来的，有时还要增加辅助线。现在用向量来证明这个问题只需计算一下直线的方向向量与平面的法向量的数量积，如果数量积是0，则垂直，否则不垂直。也就是只要一个精确的数字就知道了几何关系，即简单明了，还不用增加辅助线等，这是用计算的方法来进行几何证明。说到计算，大家自然想到计算机，如果这种计算能用计算机来代替，会减少很多麻烦。如果换做字母，计算机不认识，就不能实现用机器代替人。

用机器证明数学定理我国在世界上最先进，核心人物是我国著名数学家吴文俊。机器证明为人工智能的发展提供了极大帮助。

学生们示意明白了。

课后反思上述问题，有以下几点：第一，学生提出的问题看似幼稚，实则蕴含着大量信息，如数学学习的目的，方法等；第二，回答学生的问题时指出了前后知识的联系与区别；第三，回答中联系到了当代中学生最感兴趣的点，人工智能以及人工智能与数学的关系，激发了学生兴趣；第四，弘扬了爱国精神，普及了科技知识。因为当时课堂上有时间，课上我还简单介绍了一下吴文俊先生的生平及主要事迹，对学生内心触动很大。

课堂上若能用通俗的语言，将数学原理与人工智能的关系阐释一下，肯定能激发学生数学学习的兴趣。老师在课堂上这种素材能够脱口而出，是日常学习和积累的结果。

2.4选择有助于学生树立正确的人生观价值观的素材

数学文化的本质是人化，表明文化与教育有着天然的联系。在汉语中，“文化”的本义就是“以文教化”、“以文化人”，表示对人的性情的陶冶、品德的教养、习惯的养成。

数学教学中实现“以文化人”需要老师精选素材。如下面的例题：

例：十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量X单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：

方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；

方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；

方案三：不采取措施.

试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.

这是一道司空见惯的模拟题。这道题综合考查运用统计与离散型随机变量等知识，解决实际问题的能力。

如果从数学角度，本无可厚非。但是，站在文化视角来看待这个问题，就有问题了。

首先：文化从整体看包括科学文化和人文文化两大类。人要生存下去，就必须同外在世界、物质打交道；同时也要同内心世界、精神世界打交道。同外在世界打交道主要靠科学文化，工具理性，它是认识外在世界、物质世界的实际及规律并按照此办事的文化结晶，所解决的问题是这个世界的“是不是”。从数学角度来说，本题考查学生用所学数学知识来解决现实问题，是一道不错的题目。从数学教学角度来说，我们一般只关注学生这类题会不会做，做的对不对。

其次，同内心世界、精神世界打交道，主要靠人文文化、价值理性，它满足内心世界、精神世界的人性需要，坚持终极关怀的文化结晶，所解决的问题是这个世界的“应不应”。这道试题紧扣时代脉搏，以十九大报告为背景，有时代特色，体现了新时代既要金山银山，又要绿水青山的发展理念。

深入分析，本题的第（2）问有问题。商家把追求利益最大化作为最终目标，一般把数学知识作为工具来使用。换个角度想，难道为了给厂家省钱，就可以少排一些吗？现实中，有很多无良企业为自身利益而铤而走险的案例也非常多。所以，从人文的角度这道题不能帮助学生建立正确的价值观。

文化育人就是整体育人。怎么实现整体育人？选材时要从数学角度与文化角度综合考虑。

我国著名心理学家、教育家林崇德教授说，培养一个人的品德与发展智力同样重要，“人要像鹰那样高飞，就需要借助坚强的翅膀。这翅膀就是智慧与美德”。

这也是对数学老师们的要求。

2.5  数学与人文生活

《课标2017》对数学文化的解释中，数学文化包括与数学相关人文生活（文献1）。“与数学相关”，对跨学科间的知识渗透有了更高要求。曾经有很多老师数学课上吟诵一些古诗词，如，讲直线与圆的位置关系时，用“大漠孤烟直，长河落日圆”引入，不仅贴切，还特别美。讲函数的周期性用“离离原上草，一岁一枯荣”来形容，文理交融，别开生面。我国很多著名数学家如华罗庚、苏步青等都会写诗，而且写的很好。

在数学教学中，如果能有机地将一些古诗词融入课堂中，需要将数学本质与人文的沟通。这需要有很高的文学修养和深厚的数学功底。这属于另辟蹊径。

数学文化融入数学课程，应当首先融于教材。现在的教材中蕴含着大量的数学文化内容。有人做过统计，人教A版数学必修系列教材所含数学文化内容，共有522处（文献7）。

透过《课标2017》我们可以看出，教材是数学文化的素材库，课堂是传播数学文化的主阵地，挖掘教材，广泛学习是数学文化走进高中数学课堂的重要渠道。

参考文献：

1.普通高中数学课程标准（2017版）【M】，人民教育出版社2018年1月  10页

2. 杨叔子 数学很重要 文化很重要数学文化也很重要【J】  数学教育学报 2014年12月5页

3.  吕世虎等 《2017年普通高中数学学科教学与评价指导意见》解析【J】数学教育学报 2017年12月2页

4. 高雪芬 数学文化在大学数学课程中的应用（J）  数学教育学报2018 .1  73页

5.人民教育出版社普通高中实验教科书（必修1）（M）2007年1月 第103页

6.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1（M）人民教育出版社 2007年第二版，99页

7.张维忠 数学教育中的数学文化（M）2011.9第一版105-106

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现