教学研讨｜2.2.2 反证法

请关注阳光备课 2023-02-05

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▍来源：网络

研讨素材一

【学习目标】

知识与能力：

通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：

了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：

在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

【学习重难点】

学习重点：

1、理解反证法的概念，

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3、用反证法证明简单的命题。

学习难点：

理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

【学法指导】

通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.(作者：临汾五中王丽萍 )

【学习过程】

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研讨素材二

一、教学目标

1.知识与技能:

了解间接证明的一种基本方法──反证法;

了解反证法的解题思路。

2.过程与方法:

培养他们的分析问题和解决问题的能力;

3.情感、态度与价值观:

通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。

二、学情分析

学生在学习完直接证明之后,作为高中间接证明中的一种方法,对于学生的证明方法是一种补充和完善,同时又回扣了命题的否定知识。

三、重点难点

1.教学重点:

体会用反证法证明的步骤;

2.教学难点:

对原命题的假设; 寻求矛盾点

四、教学过程

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研讨素材三

正难则反方为道，退步缘是为向前

——《反证法》教学设计与反思

浙江省义乌中学方治

一、内容与内容解析

1．内容：

（1）反证法的概念和证明步骤；

（2）反证法的简单应用.

2．内容解析：

反证法是人教版普通高中教科书选修2-2第89页的一节课，它是数学证明中重要且基本的数学思想方法，反证法在日常生活中处处存在，在不能正面解决问题或正面解决遇到若干种情况的时候，可以用反证法来解决.正如英国近代数学家Hardy所述:“„反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法还要高明.象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方!”这种有“舍”便会“得”的证明策略，是反证法的精髓之处，不仅有益于培养和发展学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养.而且也有利于学生创新思维能力的提升.所以在数学教学过程，应予以适度重视.

二、目标与目标解析

设置教学目标，主体应是学生．在当前培养学生数学核心素养的大背景下，依据课程要求、教材内容和学生实际，确定本节课的教学目标和教学重难点如下：

【教学目标】

1.从故事情境所反映的哲理和逻辑中抽象归纳反证法的概念和证明的步骤（数学建模、数学抽象）；

2.能正确运用反证法证明一些简单典型的问题（逻辑推理、数学运算）；

3.通过用反证法对典型问题的解决，提升逆向思维能力和分析、解决问题的能力，感受数学逻辑之妙，体会数学方法之美（逻辑推理、数学运算）.

【教学重点】

反证法的概念、证明步骤及其简单应用.

【教学难点】

恰当、灵活地运用反证法证明问题，能推导出矛盾（与已知条件、假设、定义、

公理、定理和事实等）

三、教学方法的特点

本节课立足教材和学生的认知实际，采用启发式与探究式相结合的教学方式，以故事情境和各类典型问题链引发学生的思维活动，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高，让学生感知反证法的概念,领会反证法的解题要领和使用范围.教学中注重培养学生的独立性和自主性，让学生“感受过程，习得规律，发展智慧，体验幸福”，最终达到“在乐学中启智，“在成功中开慧”.为使学生更好地理解和掌握反证法，在引导和训练过程中，在反证法一般步骤基础上将“归谬”这步分为“归导”和“揭谬”两步进行，以利于学生掌握方法。

四、教学问题诊断分析

1.反证法的证明思维需要学生突破定势在学习反证法之前，学生比较习惯于直接证法，解决问题往往从正面入手，而反证法需要突破直接从“已知”条件出发去证明问题的思维定势，反证法的证明需几次切换:转向结论，结论反设；归谬，转向假设，否定假设，肯定原结论。在结论反设后，有时需要克服把图形故意作错所带来的障碍。故意作错，一是不习惯，因为这与以前直接证法时要求画出准确的图形不完全一样；一是图形不好画，因为包含着矛盾的图形，木来是不可能存在的，但为了帮助思考，只能按一些条件画图，而把另一些条件加以歪曲。这种思维方向的多次切换和作图的故意扭曲对初学者来说感到不适应是自然的，但教师如果引导不得法，学生没能很好克服思维障碍，很容易造成思维混乱，影响他们正确地理解和掌握这种方法的。

2.归谬的开放性让学生无所适从归谬是反证法证明的关键性步骤。归，推导的意思；谬，矛盾的意思。推导，可能是一两步，也可能是好几步，矛盾可能是与已知定理相矛盾，也可能是与题设相矛盾，还可能是自相矛盾。可见，归谬这一步包容性很大。如果教师未注意强调这点，学生就可能对这步的意义认识不够清楚，往往急于得出矛盾，甚至将推理错误产生的矛盾作为依据。五、教学支持条件分析

五、教学过程设计

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