教学研讨｜1.1.1 变化率问题

请关注阳光备课 2023-02-05

阳光备课

手机在手,备课无忧,学习不愁

点击上方蓝字，随时随地备课

关注“阳光备课”，点“往期文章”，必有你所需。

教学研讨所选素材大多来自国家教育资源公共服务平台的部级优课，或全国青年数学教师优秀课的获奖作品，由阳光备课整理，仅供各位老师参考，版权归原作者所有。

▍来源：网络

研讨素材一

一、教学目标

《数学课程标准》强调对数学本质的认识,对导数本质的认识,不仅作为一种规则,更作为一种重要的思想、方法来学习。新教材在内容处理上有很大的变化,新“课标”不讲极限的概念,不是把导数作为一种特殊的极限(增量比的极限)来处理,而是直接通过实际背景和具体实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,突出导数概念的本质,感受和领悟微积分的基本思想。

平均变化率是《导数及其应用》的起始课,是后续瞬时变化率和导数学习的知识基础,对导数概念的形成起着奠基作用。

根据以上分析,确定教学目标如下:

1.通过大量实例让学生直观感知,自主构建平均变化率的概念,感受平均变化率广泛存在于日常生活中,经历运用数学去描述和刻画现实世界的过程;

2.知道什么是变化率问题,掌握平均变化率概念及其计算步骤,深刻理解平均变化率的实际意义,提高用数形结合解决问题的能力;

3.让学生认识到“数学是有用的,它源于生活,又服务于生活”,提高学生学习数学的热情。

二、学情分析

本节课的教学对象为高二理科生,在物理中学生已学过平均速度、瞬时速度、加速度等概念,这些都直接或间接地涉及到平均变化率的思想。平均变化率对学生来说既熟悉又陌生,熟悉是因为现实生活中有大量问题都涉及到平均变化率,所以它是实践性很强的内容,但是学生没有明确地系统学习,不知道平均变化率的准确定义及内涵。由于学生通过自己的亲身体验,亲自去解释生活中的一些问题,才能体会平均变化率的基本思想。因此需要学生具有高度的概括能力和较好的抽象思维能力,对学生的思维是一次挑战。

三、重点难点

本节课是高中数学选修2-2第一章导数及其应用的第一节变化率与导数的1.1.1变化率问题。本节课通过实例总结归纳出一般函数的平均变化率概念,在此基础上,要求学生掌握求函数平均变化率的一般步骤。平均变化率是个核心概念,是研究瞬时变化率及导数概念的基础。在这个过程中注意特殊到一般,数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点:函数平均变化率的概念

教学难点:平均变化率的理解与转化,初步渗透“逼近”思想

四、教学过程：

关注公众号：阳光备课

研讨素材二

一、教学内容分析

导数是微积分的核心概念之一,是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排,采用“逼近”的方法,从数形结合的角度定义导数,使导数概念的建立形象、直观而又容易理解,突出了导数概念的本质。

平均变化率是导数概念建立的核心,教材通过研究学生熟悉的 “气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例,归纳出它们的共同特征,总结出一般函数平均变化率概念,使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况,并掌握平均变化率解法的一般步骤。

从知识形成的先后顺序来看,平均变化率是本章内容学习的核心概念,是研究瞬时变化率及其导数概念的基础,在整个导数学习中占有极其重要的地位。在概念的形成过程中,将进一步渗透从特殊到一般的化归思想,数形结合思想。

基于上述分析 ,我将本节课的教学重点确定为: 理解平均变化率的概念,掌握平均变化率解法的一般步骤,了解平均变化率的几何意义。

二、学生情况分析

(一)、学生已有的认知基础

1、学生具备了一定的函数知识,可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式,求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。并能从图像中看出函数变化的快与慢。

2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念,比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。

(二)可能存在的认知困难

1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例,如何从具体实例中抽象出共同的数学本质,能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键,也是难点所在。

2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象,需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。对高中生而言,抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。

基于上述分析 ,我将本节课的教学难点确定为:通过具体生活实例,概括出平均变化率的定义;并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。;

三、教学目标设计

《课程标准》对本节课的要求是:

1、通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,体会导数的思想及其内涵。

2、通过函数图象直观地理解导数的几何意义。

然而,课程教学目标不完全等同于课堂教学目标,课堂教学目标应该具体化,具有“可操作性”和“可检测性”,通过对《课程标准》的解读,我将本节课的课堂教学目标确定为:

1. 理解平均变化率的概念;了解平均变化率的几何意义;

2. 通过具体实例,归纳、抽象出平均变化率的定义;

3. 体会数形结合的思想方法;

4四、教学策略分析

1、为了有效的突破教学难点,突出平均变化率的概念本质,采用苏教版《变化率问题》中的“气温变化”问题,引导学生探究如何从数学角度,解释生活中的变化快慢现象,使学生初步理解可以用“函数值与自变量的比值大小”描述数学中变化快慢的生活问题,提炼数学模型,为后面探究“气球膨胀率”、“高台跳水”问题奠定基础,为归纳“平均变化率”的概念提供具体背景。

2、在教学中充分发挥信息技术的优势,帮助学生更好地理解概念。通过视频演示,让学生感受数学来源于生活,并积极主动地参与到课堂中,学生保持高水平的思维活动。通过几何画板演示,使学生对概念的理解直观,生动。

四、教学过程：

关注公众号：阳光备课

研讨素材三

一、教材分析

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，是研究函数的重要工具及手段。本课是人教版高中数学选修2-2第一章第一节的第一课时内容，基本内容是平均变化率的概念。平均变化率是学习导数的前奏，有助于学生了解导数概念的实际背景及几何意义，进而有利于学生更好地学习瞬时变化率——导数。因此，这一节起到了承上启下的作用。

二、学情分析

本节课的教学对象为高二年级学生，在物理中，学生已学过平均速度、作自由落体运动的物体下落速度的变化等知识，这些都直接或间接地涉及到平均变化率的思想。同时，学生又具备了一定的函数知识与解析几何知识，能直观地从函数图象感知变量变化速度的快慢。但是将生活问题抽象为数学问题还有些困难，升华为数学概念有一定困难。平均变化率对于学生来说既陌生又熟悉。熟悉是因为现实生活中有大量问题涉及到平均变化率，所以说它是实践性很强的内容；陌生是因为学生没有明确的系统的学习过平均变化率，不知道他的精确定义及内涵。让学生亲身经历“平均变化率”概念的形成、发展和应用过程，能使学生加深对“平均变化率”这一数学概念本质的理解，并使学生学习的愿望和能力也得到提升。

三、教学目标设计

（1）通过生活实例直观感知平均变化率的实际意义；

（2）经历由实例抽象出平均变化率的过程，理解平均变化率的内涵，体会由特殊到一般的思想方法；

3）借助信息技术演示“平均变化率”的动态变化，了解其几何意义，体会数形结合的思想方法。

四、教学重难点分析

教学重点

（1）理解平均变化率的概念,掌握平均变化率解法的一般步骤；

（2）理解函数在某点处附近的平均变化率

教学难点

（1）如何从数学的角度描述生活中变量变化的快慢，即如何构建平均变化率的概念；

（2）从数值意义和几何意义两个方面理解平均变化率的内涵。

五、教学策略分析

（1）探究与接受相结合的教学方法，通过对生活实例的分析与探究，逐步找出刻画变量变化快慢的数学方法，从而得出“平均变化率”的概念；

（2）充分发挥信息技术的优势，借助几何画板的动画演示，引导学生从“数”和“形”两方面强化对“平均变化率”的理解。

六、教学过程设计：

关注公众号：阳光备课

研讨素材四

一、教学内容分析

导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的 “气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解瞬时变化率的内涵

二、学生情况分析

（一）、学生已有的认知基础

1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。并能从图像中看出函数变化的快与慢。

2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平

均速度”刻画物体在一段时间内的速度。

（二）可能存在的认知困难

1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。

2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。对高中生而言，抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。

基于上述分析，我将本节课的教学难点确定为：通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义；并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例；在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解瞬时变化率的内涵。

三、教学目标设计

1、通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会导数的思想及其内涵。

2、通过函数图象直观地理解变化率的几何意义。然而，课程教学目标不完全等同于课堂教学目标，课堂教学目标应该具体化，具有“可操作性”和“可检测性”，通过对《课程标准》的解读，我将本节课的课堂教学目标确定为：