教学研讨｜1.1.2 导数的概念
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▍来源：网络
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研讨素材一
一、内容与内容解析
变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见。函数是描述运动变化规律的重要工具。如何定量刻画千变万化的变化现象，是数学研究的重要课题。17世纪创立的微积分就源于研究运动物体的变化规律，它是数学发展中的里程碑。本节课的核心内容是平均变化率和瞬时变化率。这是微积分中的两个核心概念，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。对于宏观地描述一个简单的变化过程，可以利用平均变化率的这个指标，但是随着对变化问题研究的深入和细化，用平均变化率已经不足以刻画一个较复杂的变化问题，需要引进瞬时变化率的概念。从平均变化率到瞬时变化率，是一个量变到质变的过程。它蕴涵着的无限分割的微分的思想，无限逼近的极限的思想是两个极为重要的数学思想。因此本节课的重点是理解瞬时变化率的概念，学会用瞬时变化率来“度量”变化过程。
二、目标与目标解析
抽象的数学往往都具有丰富的实践背景，变化率概念的形成和发展也不例外。课堂教学需要再现数学概念的形成与发展过程，让学生体会数学的重要思想和丰富内涵，感受数学工具在解决实际问题的作用，使学生认识到数学概念的形成也是人的思想的自然合理、符合逻辑的发展过程。因此确定本节课的教学目标为：1.从具体案例中，发现平均变化率在刻画变化规律中的作用和局限性。2.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解利用平均变化率的极限刻画瞬时变化率的思想。3.自然合理地形成微分、逼近、极限等数学观点，体会微积分的思想及其内涵，理解导数就是瞬时变化率。
三、教学问题诊断分析
函数是刻画运动变化的重要数学模型，函数的图象与性质是学生定性分析变化现象的重要认知基础。或许学生能够从函数图象上感受函数变化的快与慢。但学生往往缺乏从定量和抽象的层面去分析数学问题本质的习惯与能力。
本节课的第一个难点是从现实背景中抽象出函数平均变化率的概念。对于高中学生而言，他们习惯于用静态的思维来观察和表达一个数学现象。在本节课中，预计学生会产生这样的问题：（1）当区间不断缩小时，函数在这个区间上的平均变化率将会发生怎样的变化？这种变化有什么规律？（2）在变化的“瞬间”，平均变化率有没有意义？它还能否刻画“瞬间”的变化规律？（3）当 时，将 成为0/0型的式子，它还有意义吗？其实这些问题不仅会困扰现在的学生，也困扰了当时的数学家们。
因此本节课的难点是从平均变化率概念到瞬时变化率概念的产生和形成。特别是微分、逼近、极限思想的体现和运用。
四、教学支持条件分析
学生对于函数概念、函数图象与性质等知识与方法理解和掌握是本节课的教学基点。因此可以引导学生从函数解析式、函数的单调性等方面去探究，特别是利用函数图象直观，对由函数刻画的变化现象作出定性的分析。在此基础上，引导学生进行数学抽象和数学概念的形成与发展。学生的生活经验、原有的知识基础，直观而形象的课件都可以支持学生对一个问题从表面到本质，从形象到抽象的转变。
五、教学过程设计：
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研讨素材二
一、教学目标
知识与技能:
(1)通过实例的分析,理解平均变化率、瞬时变化率的概念;了解平均变化率与瞬时变化率之间的关系;会用瞬时变化率求解导数的值;
(2)通过导数概念的形成过程,了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及内涵;
(3)通过观察和动手实践培养学生的分析、比较和归纳的能力,并感悟到极限思想.
过程与方法:
(1)通过问题的探究,体会逼近、类比、以已知求未知、从特殊到一般的数学思想方法;
(2)通过问题的探究,培养学生的探究意识和探究方法.
情感、态度与价值观:
(1)通过导数概念的学习,体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点,接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的方法;
(2)通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用,认识学习导数的必要性,从而激发学生学习导数的兴趣.
二、学情分析
本节课的授课对象是理科实验班学生,学生已较好地掌握了函数的知识,又学过了直线的方程,并积累了一定的关于函数变化率的经验;另外,学生思维较活跃,对数学新内容的学习,有相当的兴趣和积极性,这为本课的学习奠定了基础.但导数概念建立在极限基础之上,超乎学生的直观经验,抽象度高;再者,本课内容思维量大,对类比归纳,抽象概括,联系与转化的思维能力有较高的要求,学生学习起来有一定难度.本节课旨在提升学生的思维能力,让学生理解导数的概念,并根据学生的实际情况做一定的深入探究。
三、重点难点
教学重点:导数概念的形成过程及导数概念的内涵.
教学难点:对导数概念的理解.
四、教学过程：
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研讨素材三
一、教学目标
1.知识与技能
了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；理解导数的概念．
2.过程与方法
.借助电子眼测速问题,明确瞬时速度的含义;体会数学源于生活,激发学习热情;
.以速度模型为出发点,结合其他实例抽象出导数的概念,使学生认识到导数就是瞬时变化率,了解导数的内涵.
3.情感态度与价值
培养学生学习数学的热情和科学严谨的探索精神
二、学情分析
学生在学习本节课之前学习了平均变化率,在讲二分法求零点时对逼近思想有了一定的了解,为本节课理解
△t趋近于0作了准备。而对于导数是一个全新的概念，学生对此的理解，特别是对符号的理解较困难。
因此在教学中，我采用探究性的教学模式，以问题为载体，以学生活动为主线，让学生更多地参与到概念形成的过程中来，多方位，多角度开阔学生的视野。
三、重点难点
形成导数概念，了解导数的内涵，能简单求一些函数的导数是本节课的重点也是本节课的难点。从日常生活中瞬时变化速度等物理变化量去落实重点；结合函数图像等知识研究函数增量和自变量增量方面去突破难点。
教学重点:导数概念的形成过程及导数概念的内涵.
教学难点:对导数概念的理解.
四、教学过程：
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研讨素材四
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提前备课系列一：
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一师一优课（部级优课）系列：
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6. 预习·提前备课系列|人教版高中数学选修1-1（2018）
7. 预习·提前备课系列|人教版高中数学选修1-2（2018）
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9. 预习·提前备课系列|人教版高中数学选修2-2（2018）
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15. 预习·提前备课系列|人教版高中物理必修1（2018）
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