教学研讨｜1.1.3 导数的几何意义

从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念的学习，学生对导数概念有了一定的理解和认识，导数是对变化率的一种“度量”，同时也在积极思考导数的另一种体现形式——“形”。在此之前，学生对曲线(尤其是圆和圆锥曲线)的切线有了一定的认识，特别是在学习圆锥曲线与直线关系时，对抛物线和双曲线的切线的有一定的了解与认识。从学习能力上看，通过一年多的学习实践，学生已经掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力。从学习心理上看，学生已经掌握了圆的切线及圆锥曲线的切线，只是它的含义是从公共点的个数方面来了解的，当然在思维方面，形成了定势：直线与曲线相切，直线与曲线只有一个公共点。本节课切线的含义要在思维层次方面获得上升，不是从公共点的个数上来定义切线，而是由 “割线”的“逼近”来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上。通过概念的建立，概念的辨析，问题的探究来激动学生的好奇和兴趣。

本节课的内容蕴含着导数的“数”和“形”两种体现形式，“逼近”和“以直代曲”的思想和用已知探究未知的思考方法。在教学过程中应重视并体现这些数学思想方法。根据本节课的内容特点，教学过程中可充分借用信息技术这一辅助手段，利用几何画板的动态作图这一优势平台为学生的问题探究，概念形成，思维过程提供支持。

三、重点难点

重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“逼近”和“以直代曲”数学思想方法。

难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每点处“附近”的变化率与瞬时变化率的近似关系的理解。

关键：由割线 “逼近”切线的动态变化效果，体现“量”与“质”的转化与相互替代。

四、教学过程：

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研讨素材二

一、教学目标

1、知识与技能目标:

(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”,解决了平均变化率的几何意义后,明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。

(2) 借助两个类比的动画,从圆中割线和切线的变化联系,推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。

(3) 依据割线与切线的变化联系,数形结合探究函数在处的导数的几何意义。在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法。

2、过程与方法目标:

(1) 学生通过观察感知、动手探究,培养学生的动手和感知发现的能力。

(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识,再类比探索一般曲线的情况,完善对切线的认知,感受逼近的思想,体会相切是种局部性质的本质,有助于数学思维能力的提高。

(3) 结合分层的探究问题和分层练习,期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面,独立解决问题和发现新知、应用新知。

3、情感、态度、价值观:

(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想,使学生了解近似与精确间的辨证关系;通过有限来认识无限,体验数学中转化思想的意义和价值;

(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会活动中激发学生的学习潜能,促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法,获得广泛的数学活动经验,提高综合能力,学会学习,进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

二、学情分析

考虑授课对象是高二年级理科平行班,数学的知识基础和数学思维能力的层次差异较大,所以本节课设计为探究、自主实践的活动课。巧用信息技术,展示两个类比的动画,增强直观性,期望不同层次的学生,在探索的过程中都有感知和发现,同时增加课堂容量。

三、重点难点

重点:导数的几何意义,导数的实际应用,“以直代曲”数学思想方法.

难点:对导数几何意义的理解与掌握,在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解.

四、教学过程：

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研讨素材三

一、教学目标

1.进一步熟悉导数的几何意义,理解曲线的切线的概念。

2.会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程。

3.通过对比学习掌握曲线在某点处切线方程及过某点处切线方程的求法。

二、学情分析

本节课是高三一轮复习课,学生已经掌握了基本的运算及导数的几何意义,但是在应用细节上还存在问题所以通过这节课的对比学习使学生更准确把握导数的几何意义。从知识结构方面,导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课,是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值,体会数形结合的数学思想方法。同时,本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。因此,导数的几何意义具有承前启后的重要作用,是本章的关键内容。

三、重点难点

重点

1.由导数求解曲线的切线方程。

2.通过对比学习熟悉解答过程,能够准确求解切线方程。

难点

掌握曲线在某点处切线方程及过某点处切线方程的求法。

四、教学过程：

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