教学研讨｜3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计（第一波）

请关注阳光备课 2023-02-05

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研讨素材一

《独立性检验》教学设计

清华附中李劲松

一、教学目标

【知识与技能】

(1)通过生活中新闻案例的探究，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。

(2)让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性。

【过程与方法】

通过探究“吸烟与患肺癌是否有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表分析独立性检验的实施步骤。利用必修三所学统计知识，已经由数据直观判断出吸烟与患肺癌可能有关系，但这一直觉来自于观测数据，即样本。问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体。这节课就是为了解决这个问题，在学生亲身体验感受的基础上，提高学生的数据分析能力。

【情感、态度与价值观】

(1)通过本节课的学习，让学生感受数学与现实生活的联系，体会独立性检验的基本思想在解决日常生活问题中的作用。

(2)培养学生运用所学知识，依据独立性检验的思想做出合理推断的实事求是的好习惯。

二、教学重点

本节的重点内容是通过生活实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤。

三、教学难点

在授课过程中，学生学习过程中遇到的困难主要有以下几个方面：

1.统计量K²的结构的比较奇特，也来的有点突然，学生可能会提出疑问。

2.如何理解独立性检验的基本思想？

3.独立性检验的一般步骤及背后的理论依据是什么？

4.为什么在最后表达结论的时候要说明“在犯错误的概率不超过XX的前提下”。

四、教学模式

“问题串”模式为主，理清教学思路，鼓励学生思考；“讲授式”为辅，解释学生难以自主探究的知识内容。

五、教学过程设计

(一)．结构分析

为达到本节课的教学目标，关注学生思维能力的培养，关注知识的联系与迁移，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为六个阶段：

(二)．教学过程

一、创设情境，提出问题

新闻报道：美国一位名叫艾莲的女士把烟草公司巨头告上法庭，理由是她的丈夫长期吸烟，导致其身患肺癌。她向烟草公司索要1.3亿美元的巨额赔偿金。

(1)你认为她会胜诉吗？为什么？

(2)若你是法官，你会怎么办？

【设问意图】数学教学只有从问题开始才有其生命力。通过问题(1)的讨论，激发学生的学习兴趣，为本节课的主要问题——吸烟与患肺癌是否有关做好铺垫。使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性。

问题(2)的讨论，使学生融入情境本身，让学生带着悬念、带着认知冲突学习后面的知识，这样有利于激发学生的学习欲望。引导学生回忆起必修三所学习的统计的基本思想：收集数据，整理数据，分析数据，让数据说话。纠正学生“急功近利”式的、“逆来顺受”的被动学习方式，让学生带着问题进入到下面的学习中，同时明确本节课的核心问题，突出重点。

二、质疑解惑，领会思想

问题1：为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某研究所随机地调查了9965人，得到的结果如下表（列联表）：

请问吸烟是否对患肺癌有影响？

（1）方法分析及其过程

问题1.1：上述问题中涉及到了哪两个分类变量？你能否从数学的角度理解“吸烟是否对患肺癌有影响”？

【设问意图】读懂题意是解答问题的前提，学生初次遇到这样的问题，当然比较生疏，需要老师的引导，因此，先要让学生弄清其中的分类变量，并将问题“数学化”，分析列联表中的数据，学习材料的教研方法。

问题1.2：请根据上述列联表，在不吸烟样本和吸烟样本中，分别计算不患肺癌的频率，并画出等高条形图。

【设问意图】教材已经给出了不吸烟样本和吸烟样本中患肺癌的频率，但如果让学生亲自“动一动”、想一想，印象会更深刻，理解会更到位；学生可能不太理解等高条形图，这样设问可激发学生阅读教材或查找资料，直至弄懂。

问题1.3：借助上述频率或等高条形图判断吸烟与患肺癌有关各有什么优点或缺点？

【设问意图】学生阅读教材后就应该知道怎样用这两种方法进行判断，此问意图在引导学生分析等高条形图的作用，培养学生“数形结合”的意识，并能在具体的应用中作出恰当的选择。

问题1.4：怎样描述判断吸烟与患肺癌有关的可靠性?

【设问意图】描述判断两个分类变量有关的可靠性是独立性检验的关键所在，由于随机样本都不能代替总体，因此，根据样本对总体所作出的推断可能会出错，这样一来，就存在求判断出错的概率问题，但学生不可能探究其求法，只能引导学生阅读教材，理解其合理性。教师在讲解评析时，应特别注重“假设H₀:吸烟与肺癌没有关系”是怎样转化为，说明它与统计量K²的联系，判断K²的观测值大小的标准是什么，这个标准又是怎么确定的，怎样理解“犯错误的概率不会超过0.01（显著水平）”，等等。

问题1.5：能否类比方差公式去理解卡方统计量公式结构的合理之处？

【设问意图】方差公式中取每个样本数据与样本平均数差的平方即，这是为防止正负抵消，掩盖真像，公式中的主要是协调作用：因样本容量的不同而使方差的值差异太大，意在取平均。而在假设患肺癌与吸烟没有关系的情形之下，易得

，而此处取平方是为了公式的结果是正值，与查对临界值表有关。公式中的

是因为考虑到抽取样本的不同而的值差异太大，这与协调样本容量的大小有关。

问题1.6：根据你的阅读和理解，独立性检验的含义和原理（或独立性检验的基本思想）分别是什么？它与反证法原理有何异同？

【设问意图】在教材里“躺着”的知识和方法，只有当学生理解了，才能变成学生自己的、“鲜活”的数学。学生难以理解独立性检验的基本思想，要想让学生在短短的45分钟内就理解透彻，是不可能的，因此，该问意在要求学生课前应反复阅读、“深入”理解，教师在课堂上要抓住这一难点，尽量用“浅出”的教授法让孩子们明白。

问题1.7：你能从上述探究过程中总结出一种直观判断两个分类变量有关的方法或思路吗？直观判断有什么不足？这种不足可用什么来弥补？

【设问意图】意在让学生回过头来总结一下，根据样本数据对两个分类变量是否有关作出直观判断后，怎样利用统计量K²计算这种判断正确的概率是否达到显著性水平，让学生更加明白独立性检验的基本思想。

（2）提炼方法，形成模式

问题2：通过前面的学习和研究，你能总结用独立性检验判断两个分类变量有关的具体做法是怎样的吗？

【设问意图】在前面的阅读理解中，学生可能理解了判断两个分类变量有关的基本思想，其中的关键是如何在满足显著性水平的条件下确定判断的标准。在教材上已经给出了三个基本步骤，对学生而言是很生疏的，但并非一成不变，只要学生理解独立性检验的基本思想，在解答具体问题时就顺理成章了。

三、指导应用，模式内化

例题：为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

（Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.

四、布置作业，自主探究

作业为教材第81页习题3.1 第1、2题。

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研讨素材二

3．2独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计

1.教学内容与内容解析

在在人教A版《数学2-3（选修）》第二章之后，学生已经学习了两个事件独立的判断方法。本册第3章第2节“独立性检验的基本思想及其初步应用”这一节中进一步介绍独立性检验的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计3课时，第一课时：介绍判断两个分类变量有关系的直观方法；第二课时：从事件的独立角度分析两个分类变量有关系的判断方法，建立独立性检验的基本步骤；第三课时：对比反证法对独立性检验做进一步分析及习题巩固. 本节课是第二课时的内容.

2.教学目标与目标解析

1、知识目标

知道什么是独立性检验；

2、能力目标

（1）会利用随机变量K²公式计算列联表的观测值k；

（2）能正确理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

3、情感目标

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.

3.教学问题诊断分析

由于学生在本册教材的第二章已经学习了两事件独立的相关知识，所以本节课学生容易了解：

（1）两个分类变量没有关系可以等价于对应两个事件是独立的，从而可以利用概率的相关知识来分析解决两个分类变量有关系问题．

（2）两个分类变量对应事件的概率在统计中并不知道，但由于有分类变量的列联表，可以借用列联表中数据，近似用频率代替概率来分析.