河北名师殷玉波：我与数学欣赏

本文发表在中数参2014年第4期，同年9月被中国人大资料中心全文转载

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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殷玉波，河北省保定市第三中学数学高级教师，《中学数学教学参考》杂志编委。主要研究方向有高考备考和数学文化与数学美。2009年至今，在《中学数学教学参考》、《数学通讯》等国家级学术期刊发表文章70多篇，其中5篇被中国人民大学资料复印中心《高中数学教与学》全文转载。

我与数学欣赏

殷玉波（河北保定三中）

我第一次见到数学欣赏这个名词是在中学数学教学参考2010年1-2期，当时第一篇就是著名数学教育家张奠宙先生与柴俊博士合写的文章《欣赏数学的真善美》，我对这篇文章爱不释手，每天都看，里面的很多内容几乎能背下来。看了张先生的文字，我激动和惭愧。激动的是数学原来可以这么美好，惭愧的是我所教的数学是死的，张先生的数学是鲜活的有生命的！所以，我要努力，开发数学中蕴含的真善美，体会欣赏数学的真善美，赋予数学生命与活力。

在随后的几期中陆续刊登了几篇，每篇我都认真学习。后来，大概是2010年10月，我去北京的火车上，突发灵感，写了一篇《欣赏椭圆》，得到张先生很高的评价，后来一直默默努力，学习、思考和写作，到目前已经发表了几篇。数学欣赏给我的教学带来了无限生机和乐趣，我愿意把我的个人体会介绍给大家。

1.什么是数学欣赏？

欣赏的中文含义是领略、赞赏、观赏、喜欢，还有佩服。包含着一种在喜好、倾慕的前提下愉快、积极的接受、沉浸并享受某种客体（或对象）的情感。可见欣赏是一个与主观意识和心理倾向紧密相关的概念。

数学欣赏的概念在实际语境中远比想象的要复杂些。经过几年的学习思考，我个人更认同张景中院士的观点。什么是数学欣赏呢？现在，我是这样认为的：

数学欣赏是教育数学的一部分。教育数学是著名数学家张景中院士早在1995年提出来的一种思想，其目的就是把数学做的简单一些。张院士说，“把学数学比作吃核桃，核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它。数学教育要研究的，是如何砸开核桃吃核桃，重点在教育。教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净，重点在数学上。简单地说教育数学就是改造数学使之更适宜于教学和学习，是教育数学为自己提出的任务。”

改造数学使之更适宜教育和学习，这些更多的是数学家和数学教育家的任务。中学老师们主要是把数学大师们开发培育的优良果实进行深加工，加上辅料、增加一些地方特色等，使得老少咸宜，更有利于吸收，这应该是数学欣赏的目的和任务。

还可以理解成，数学大师们就是花匠，负责哺育改良花的品种，中学老师不一定会种花，但是要会卖花。要把这些花卖出去卖得好，最好会赏花，知道这些花美在何处。如果还会插花，那么你的花一定能卖得更好。我想这也是数学欣赏的目的之一。

总之，我认为数学欣赏就是把学术形态的数学，转变成教育形态的甚至具有艺术形态的数学。

2．数学欣赏要欣赏什么？

在数学中，哪些内容可以成为欣赏的对象呢？著名数学家丘成桐曾接受《光明日报》记者采访时说：“数学是一门很有意义、很美丽、同时也是很重要的科学，从实用角度讲，数学遍及物理、工程、生物、化学和经济，甚至与社会科学也有很密切的关系。文学最高境界是美的境界，而数学也具有诗歌和散文的内在气质，达到文学性的方面，达到一定境界后，也能体会和享受到数学之美。数学既有文学性的方面，也有应用性的方面，我对这些都感兴趣，探讨它们之间妙趣横生的关系，让我真正享受到了研究数学的乐趣。”

   可见，在邱先生来看，数学具有真善美三个层次的表现力。数学之美具有简洁、生动、应用性等特征，数学之美渗透于数学的知识、结构和模式中。

3. 什么是数学的真善美

朱光潜说万事万物都具有真善美。真是指科学性，善是指实用性，美是指美感。所以所谓数学的真，就是数学的真理属性。数学的善，则是指数学的应用价值。至于数学的美，则是数学艺术价值的一种体现。

  4.如何进行数学欣赏

张奠宙先生说：欣赏， 是教育的一部分。数学教育则是为了欣赏数学文化和数学思维的真善美。数学教育缺少了“欣赏”环节，使得许多人无法喜欢数学，以至厌恶数学，远离数学。那么如何进行数学欣赏？

张奠宙先生进一步指出，欣赏数学的真善美大致有以下途径。

  * 对比分析， 体察古今中外的数学理性精神；

  * 提出问题， 揭示冰冷形式后面的数学本质；

  * 梳理思想， 领略抽象数学模型的智慧结晶；

  * 构作意境， 沟通数学思考背后的人文情景。

以文《欣赏椭圆》为例。文中主要说了以下四个方面的内容：

(一) 从开普勒到嫦娥飞天，欣赏椭圆应用之美；——善

(二)  从外形欣赏椭圆，感受椭圆图案之美；

（三）从学术形态欣赏椭圆，感受数学之理性精神；——真

（四）从教育形态来欣赏椭圆，感受美能启真。——美能启真

其中（一）、（二）两方面主要介绍了我们看到的、了解到的椭圆，是真实的椭圆，感受到椭圆实实在在的美，但是这样的椭圆没有思维的介入，不是数学上的椭圆。所以，在第（三）部分通过对比三种椭圆的证明，欣赏数学中的椭圆，感受数学的理性精神。通过对比还发现用解析法证明非常简单，这是为什么呢？分析原因，查找证据，得出“对比三种证法，不能仅仅满足于证法3的简单，应着重欣赏其背后蕴含的重要思想和重大意义。”这样就把解析几何的意义也揭示了出来。

后面的美学设计，就是课堂实录。在推导标准方程过程中，突然发现式子是整式，而且很对称，符合美学标准，而标准方程是分式还不对称，为什么还要化成标准形式呢？于是就产生了文中的对话。

这段对话也给了我巨大的启发，正如丘成桐先生所言：数学之美渗透于数学的知识、结构和模式中。数学的美其实也蕴藏在我们的日常教学生活中。

5.我与数学欣赏

我与数学欣赏从2010年开始结缘。经历了几个春秋，我也做了很多努力，有很多探索。我认为数学的真善美不能仅仅用来欣赏，更要有发现美、呵护数学美的心灵。

以下几个方面的个人思考，也许能给大家一些启发：

5.1并不成功的数学欣赏课

当初开设数学欣赏课有两个想法，一是提高自己的认识水平，再就是看看学生的反映。当时正好教高一，有时间去培养学生对数学的审美情趣，初步计划每周上一节，每个学期上四节，边学习，边总结。

第一期（高一下学期），我主要是和学生一起学习杂志上的文章，我把这些文章复印后发给学生们，课上一起讨论学习。学习文中的例子，体会其中的数学意境，分析其中的数学意义。讨论也是以文章中的例子为线索，模仿文中的例子自己构造一些事例，然后进行对比分析。

但是，很艰难，多年的机械的数学解题训练，学生的大脑几乎僵化；学生的课业负担很重，很多人都是带着作业去的。由于一些内容与考试无关，与他们的学习内容无关，所以他们就一边听我讲，一边写作业。就这样，第一期上了四节课就草草的结束了。

第二期（高二上），这一期又上了四节课。经过一段时间的自我学习，结合学生实际进行了自主研发，用真善美的观点直接与学生的实际问题接触，发生碰撞，看看能不能撞击出火花。这次有一定效果。举例如下：

通过与学生一起学习我也很受启发，数学欣赏不能为了欣赏而欣赏，必须源于现实生活，用于课堂，这样学生才会真的喜欢。

以上工作，对于数学欣赏来说，是很肤浅，虽然功利化倾向严重，但是毕竟有了一些起色。

第三期（高二下），只上了一节课就被迫停止了。经过长时间的熏陶，这时候我和学生们都有了很大进步。这次上课就是一个题目：在数学上有很多“规定”，为什么要这么规定？难道是“约定俗成”还是“别有用心”？请举例，并说明理由。

这个题目切入点很好，张先生说数学欣赏就是欣赏数学文化与数学思维的真善美，这个题目就是想把其中的理性思考揭示出来。再有这个题目也抓住了学生的心理，因为经常有学生对于“规定”的内容不理解，解题时经常犯错误，甚至有的内容老师们都不理解，这就给数学的理解和解题带来很大麻烦，甚至还有的学生想自己规定一些内容。

虽然这次只上了一节课，但是已经把大家调动了起来，课后很多学生找到我谈自己的见解，都很有见地。

在开设数学欣赏课的同时，数学欣赏已经融入了我的课堂。从文7，文8中既可以看到师生对课程的开发，也可以看到数学欣赏给课堂教学带来的生机.

5.3  数学欣赏的几个注意问题

数学欣赏是很有价值的一个平台，是一线老师一个很好的专业发展方向，这已经引起了很多有识之士的关注。笔者通过切身感受，认为朝着这个方向发展需要有以下几个方面的储备：

5.3.1丰富的数学教学经验和扎实的数学功底；

我是一直抱着数学欣赏必须走进课堂，数学欣赏必须站在高考之上的想法来研究数学欣赏的。

以《简易逻辑欣赏片段》（文3）为例。刚开始是改写中数参2010年12期《人人都要讲道理》一文，主要是看到这篇文章不够生动活泼。当时正好刚讲完这一章，上课时给学生开了一个“迟到并且来晚”的玩笑，发现这个玩笑与有点相像。在这里运用逻辑的思想，把学生一直都出现的类似的问题说清了，认识到逻辑的力量很大。再有，绝大多数老师把这部分当做知识点来学习，只熟悉怎么考，认识深一点的，在解题的时候会运用充要条件来分析问题。但是教材的真正目的，肯定不只是对逻辑现象的总结。基于这样的想法，我开始研究、改写。

第一次我结合教学实际把文章写成“人人都要学点逻辑”。但是这并没有跳出高考的包围，也没有对逻辑知识很好的很全面的理解，甚至发生错误理解，张先生的评语是“文字流畅， 可读性强。但是文中 “复合命题”的否定和命题的否定有根本区别。尤其是文章没有提到量词，任意选取一个， 存在一个， 是很遗憾的。简易逻辑不简易，作者需要仔细思考。”

我仔细研究张先生的评语，看了很多书，书上对这部分的介绍也很少。我就在整个高中数学的系统下思考，对量词和充要条件有了初步的认识，为了避免对逻辑知识的介绍，改写成“简易逻辑不简易”，但是对逻辑知识掌握还是不够准确。这次张先生给我梳理了思路，并且举了很多例子，帮我开阔思路，还鼓励我说“修改稿较前有进步， 但是离开“欣赏”还有距离，欣赏时一定要有人文背景，也就是讲故事。文章开头用迟到、晚来，我觉得很好。可是，这违反了简易逻辑的哪一条？这好像在逻辑上没有错，请考虑。简易逻辑不简易，全文中的逻辑内涵需要仔细琢磨，认真学习， 不可含糊。

请你开阔思路， 从日常生活中找故事， 再联系到数学问题。不要着急， 是一个思考学习过程。切忌把文章写成逻辑知识介绍。”

结合这次的指导意见，我努力学习一些美学作品和文学作品，大力改造原文，努力突出人文意境。但是这次还是没有打通数学意境与人文意境的联系，只是在数学之外下功夫。

最终张先生的评语是“原文还是很差。鉴于中学老师能够跳出“高考”桎梏，就很不容易，应予鼓励。所以我做了大幅度的修改。”

仔细揣摩这句话，我认识到本文的价值，就是跳出了高考的桎梏。从这几句话中也可以看出张先生对我国的中学数学教育的关切之情，和对年轻教师的关爱之意！我深受感染和鞭策。

我与张先生并不认识，所有交往都是通过《中数参》为媒介。反思与张先生的交往，每次都给我很大启发，也让我内心感到很温暖。通过这几次交往，我深深认识到，数学欣赏的前提是对数学知识必须有一个真正的认识，融会贯通之后，才能在一定层次上进行欣赏。

  5.3.2具备一定的文学功底；

数学是一门公理化的科学，所有命题必需由三段论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部份数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的分别在那里？

丘成桐先生认为，大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来决定研究的方向，这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质，气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。（参见丘成桐《数学与中国文学的比较》）
  在我们身边，绝大多数数学老师不怕做题，说话也很有水平，但是怕写。因为写出来的东西总是与自己要表达的意思相差很远，如果还要有一定的文学性，就更难了。其实，写东西不是天生的，是练出来的。只要坚持多看，坚持多写就能写好。除此之外，还要留心，用心，注意同一件事别人是怎么遣词造句的。总之，从模仿开始，不断练笔，不断积累。  

除了上面所说的几点之外，我还向语文老师学习。每次写完文章，第一个读者就是我们学校的语文老师，当然这个语文老师要认真，有一定水平，最好还年轻，因为年轻的能看懂数学内容。我每次找到他们总是先说，不要看具体内容懂不懂，先看布局谋篇，再看语言表达，然后再看能否看懂具体内容。在文《简易逻辑片段欣赏》中提到“数学欣赏超越了简单的理解和求证的过程，是一种融会贯通之后淋漓尽致的快乐甚至幸福.”就是一位语文老师看了本文之后说的话。这句话也道出了我内心深处的真挚感受，也是我研究写作数学欣赏类文章得到的真情实感。

还有一位语文老师，看了我的文章之后，甚至改变了他的人生方向。他说“我觉得最重要的不只是对里面的数学知识的掌握，更是对数学学科的认识，乃至对“做学问”的认识。直观上感觉头脑受到了某种激发、洗刷。这让我想到“冰山一角”的理论，看上去是一个个独立的山峰，其实在深层上它们是一一相连的。一般的人只能认识到这或者那儿是什么山，高明一点儿的人会告诉你所有山的名字，而您告诉了我那几座冰山其实是一座，还告诉我通往山顶的路充满了快乐！”   

当然这是他们谦逊的话，恭维的话，真正的是我与他们接触，学会了很多写作技巧，有很多数学意境，要经过与他们讨教、学习才知道是否合适。

  5.3.3最好懂得一定的历史（包括数学史）

2002年8月20日，丘成桐接受《东方时空》的采访时说，“我把《史记》当作歌剧来欣赏”，“由于我重视历史，而历史是宏观的，所以我在看数学问题时，常常采用宏观的观点，和别人的看法不一样”。

我也经常告诉我的学生说，历史使人有高度，数学使人有深度，如果二者结合，那么你就会天下无敌。我们不需要天下无敌，只要自己看问题有一定高度就好。

我个人非常喜欢历史，尤其喜欢中国近代史，没事的时候就喜欢看一些历史书籍，而且是反复看，揣摩政治家如何高瞻远瞩、纵横捭阖，军事家如何运筹帷幄、决胜千里。其实很多老师喜欢历史，可能只看一些历史故事，缺少联系起来看问题，历史的看问题。我还喜欢数学史，从2003年秋季开始，我每年都要给学生开设数学史选修课，自己查找、整理资料，力求对学生数学学习有一定启发，对自己教学有用。几年坚持下来了，有很多收获。

  5.3.4有一些美学常识

罗丹说：世界上并不缺少美，关键是缺少发现美的眼睛。那么，谁能给我们一双慧眼呢？我认为学一些美学知识，掌握一点美学的分析方法很重要。我刚刚看到张奠宙先生的《欣赏数学的真善美》一文时，我就想什么是事物的真善美？为什么张先生要说这个反映了数学的“真”，那个反映了数学的“善”？等等。说什么也想不通，内心很痛苦。想不通没关系，先从模仿开始，动手做起来，慢慢积累材料，慢慢筛选。后来一个偶然的机会我看到语文老师桌案上朱光潜的《谈美》，爱不释手，每天有时间就看，很受启发，还写了很多学习体会。

中学数学教材曾经饱受批评，枯燥、乏味、理论性强、抽象度高等。目前的课标教材虽然想尽办法，进行了很大改进，但是仍然有很多的不足。比如，教材中成品太多，发现太少，这在一定程度上失去了“真”．其次，割断了数学与文学、哲学、艺术等的联系，使学生见不到各个学科间的联系与相互为用，这在一定程度上失去了“善”．自然地，也体会不到数学的思想，这在一定程度上失去了“美”．把数学的真善美隐藏起来，实际上并不利于学生数学的学习，反而会使学生丧失对理性追求的兴趣．

事实上，不仅中学教材饱受批评，中学老师的课堂也有很多诟病，很多人把主要原因归结到高考上，我认为是不对的，其实应试没有错，错在不能搞应试教育。我们无力改变高考，却能够改变我们自己，我们有能力让我们的课堂变成有生命力的课堂，有真善美的课堂，成为学生数学学习的乐园。

下面一段话是学生对数学欣赏的肯定：

殷老师：在你没有给我们授课之前，还不曾知道数学是那么的美妙与神奇，还可以以欣赏的眼睛去学习数学。学数学不仅要学，还要学习她的内涵，她的美，她的用途，现在的自己越发的感到数学真的很美，锻炼自己的思维，无论遇到什么困难都不会退缩！因为最难以捉摸的往往是最美的。

很多学生有类似的看法，所以无论对于教材还是教法，数学欣赏都大有可为！

  5.3.5在数学之外寻找灵感

数学欣赏要有灵感。灵感来自哪里呢？我的经验告诉我主要来源有两个：一是来自课堂；二来自现实生活。来自课堂，来自学生，这一点需要老师有欣赏的意识，善于发掘；来自生活，就是要会在数学之外做文章。朱光潜先生说：灵感的培养不必限于读书。人只要留心，处处都是学问，艺术家往往在他的艺术范围之外下功夫，在别种艺术之中玩索得一种意象，让它沉在潜意识里去酝酿一番，然后再用他本行艺术的媒介把它翻译出来。

丘成桐也说，文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象。数学家为了创造美好理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没问题，就可以尽情地发挥想象力。

不少伟大的数学家，以文学、音乐来培养自己的气质，与古人神交，直追数学的本源，来达到高超的意境。

老师们也都有很多鲜活的例子（如文7），这里不在赘述。

6.4数学欣赏对教学的启发

数学欣赏不仅仅是教会学生学会数学，喜欢数学，也可以培养学生的品质、人格。数学欣赏也是一种意识，一种爱的意识，而且这种爱可以传递。下面仅举一例：

高三复习简易逻辑，一天我去上课，发现班主任在训斥学生，我看到学生们面有不悦，怕影响学生情绪。以前遇到这种情况总是安慰学生几句，说几句“老师都是为了你，大家要努力”等等，这样不疼不痒的话根本不起作用，还可能勾起更多不好的回忆。

我灵机一动说，请大家拿出练习纸，把这道题做一下：写出下列命题的逆否命题“如果你恨一个人，就不要告诉他错在哪里。”学生们都笑了，于是整节课非常顺利的完成。当时正值教师节来临，有一位学生赠给我一本波利亚的《怎样解题》，扉页上写着如下一段话：您是我见过的最有个性的老师。一年以来，我们不仅学到了知识，更多的是一份做事的态度，做人的准则。高中，我们知道了怎样学数学；高中，我们领略了以数学为主题的文章的魅力；高中，我们提高了学习的能力，能动性和自主性。您的一言一行都是我们成长道路上最珍贵的财富。

学生的认可是对数学欣赏的最大鼓励，让我们一起加油吧！

参考文献[U1] 

1.  张奠宙，柴俊 欣赏数学的真善美，中学数学教学参考「J」，2010,1-2，

2.  殷玉波  欣赏椭圆，中学数学教学参考「J」，2011,1-2,8-10

3.  殷玉波  简易逻辑片段欣赏「J」，中学数学教学参考，2011,10，6-8

4.  朱光潜  谈  美「M」金城出版社，2006-9-1，

5.  丘成桐  数学与中国文学的比较「J」网络

6.  张景中  走进教育数学系列丛书总序「M」科学出版社北京2011,1，1-11

7.  殷玉波  指数函数引入片段欣赏，中学数学教学参考「J」，2013,3，57

8.  殷玉波  绘声绘色绘数学，数学通讯「J」，2012,5，63-66

9.  黄秦安，刘卓达，聂晓颖  论数学欣赏的“含义”、“对象”与“功能”——数学教育中的数学欣赏问题 数学学报「J」，2013，1，8-12

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