教学研讨｜2.2.2椭圆的简单几何性质

从单元内容看，本单元主要包括三种圆锥曲线的定义、标准方程和性质，以及坐标法的应用，在学习的过程中要深入对数形结合思想的理解.本节课是在学生熟悉了直线和圆的方程、椭圆的定义及其标准方程的基础上，并具有初步运用方程研究曲线的方法的活动经验后，第一次系统地运用代数与几何相结合的方法研究曲线的性质.它为之后研究双曲线、抛物线的几何性质、运用“以数解形”的方法解决几何问题等内容提供了数学模型和方法指导，因此本节课对体会单元核心思想方法具有举足轻重的地位和作用.

本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了数形结合、分类讨论及类比推理的思想和用代数法研究曲线性质的数学方法.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，理解“以数解形”的数形结合思想.

二、教学目标设置

1.教学目标

（1）在动手画椭圆的过程中，发现并提出椭圆对称性、大小、圆扁程度等几何性质的问题，发展学生发现问题提出问题的能力,培养学生数学抽象的能力.

（2）通过对椭圆图形特征的研究，分析椭圆的范围、长轴、短轴、对称性的性质，发展学生分析几何图形和直观想象的能力.

（3）结合方程分析椭圆性质，以数解形，提升学生对数形结合思想的理解.

（4）通过离心率的探究，使学生经历观察、分析、归纳、概括的思维过程和动手操作的实践过程，发展学生数学逻辑推理的能力.

2.目标解析

（1）设计画椭圆图形，可以提高学生研究曲线时动手作图的基本技能，并让学生从作图的过程中初步了解椭圆的各项几何性质，发展学生直观想象和数学抽象的数学核心素养，培养学生分析问题和解决问题的操作性思维能力.

（2）研究曲线性质时，首先从图形角度研究，可以提高学生发现问题的能力,并让学生体会几何直观在研究曲线性质中的作用.

（3）通过方程对椭圆的几何性质的探究，学生进一步感受用代数方法解决几何问题的数形结合的思想，在由数释形的过程中，培养学生的探究习惯，发展学生的理性思维.

（4）在椭圆离心率的探究过程中，通过实验发现规律，结合老师的引导点拨，让学生去实现对离心率的发现和理解，培养学生严谨的治学态度和不断发现问题的能力，以及运用所学知识解决新问题的能力.

三、学生学情分析

学生已经熟悉和掌握椭圆的定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力，但这是学生第一次通过方程研究曲线的几何性质，研究思路并不是很清晰.对于范围、对称性、顶点三个性质，通过老师的点拨引导，学生比较容易掌握.离心率概念比较抽象，学生缺乏研究此类问题的经验.

本节课的教学难点是：学生对椭圆的核心性质——离心率的认识与理解.

本单元内容的教学，要使学生充分经历“操作、观察、分析、抽象、概括”的学习过程.即从生活中抽象图形的模型，动手操作画图象，观察曲线的特点，探究曲线的方程，根据方程研究曲线.教学中，充分运用类比学习、螺旋提升的方法，不断形成完整的解析几何研究方法和学习策略.在运用方程讨论曲线性质时，主要以独立探究为主，离心率的发现过程要为学生创设适当的情境，使学生在最近发展区中发现问题、解决问题.

对于坐标法的理解，教师要为学生创造循序渐进地理解数形结合思想的条件，以代数与几何为什么结合、怎么结合、结合时注意什么等问题为抓手，帮助学生深刻理解此数学思想方法.

四、教学策略分析

根据本节课教学内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，激发学生的学习兴趣，在课堂教学中让学生通过动手操作画椭圆，亲历知识的生成过程，力求借助信息技术手段，以“几何画板”软件为平台，通过对椭圆的核心性质离心率的变化的演示，观察椭圆圆扁程度的变化，让学生体会运用“数形结合”的思想方法建立起高中数学的两条主线——代数主线和几何主线间的密切联系，同时利用展台将学生的研究成果进行实时呈现，能够使本节课重点研究的椭圆的简单几何性质的四方面——椭圆的范围、对称性、顶点及离心率问题及时得到很好的解决.具体来说包括：

1.任务驱动教学法：利用问题串作引导，引发学生积极思考并积极探究；

2.演示教学法：学生实物投影展示和教师几何画板动态演示相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性；

3.启发式教学法：在研究范围和离心率时，教师做积极启发并与学生自主探究与合作讨论相结合突破难点；

4.学法：以小组合作为基本活动模型，采用自主学习法，结合合作探究法，讨论法，归纳总结法与交流展示法.

五、教学过程设计

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研讨素材二

一、学习内容分析：

本节内容选自人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》第二节第二小节《椭圆的简单几何性质》的第一课时。课型属于概念教学课。

首先，解析几何在高中阶段就知识掌握来讲主要运用坐标法解决两类问题：①根据已知条件求出曲线的方程；②通过方程，研究曲线的性质。本节课正是学习了椭圆的定义及其标准方程之后研究上述问题中的第二类问题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础，也是学生首次尝试结合方程研究曲线的几何性质。因此，本节课不仅要注意对研究结果的理解和应用，更要重视对研究方法的学习和掌握。

其次，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，但这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。而本节课是结合椭圆图形发现几何性质,再从数、形等多种途径探讨椭圆的几何性质,让学生在了解如何利用曲线方程研究曲线性质的基础上，充分认识到高中数学的学习是多个角度的，尤其是几何对象，不仅关注形，还要关注数层面的一种解释，为后继研究其它曲线的几何性质奠定重要基础。

再次，椭圆是继学生学完圆后学习的第二个圆锥曲线。从纯几何角度来看椭圆的几何性质是圆的几何性质的自然推广，但它需要较多的知识准备和较强的逻辑推理能力，而用坐标法可以将复杂的几何关系的研究转化为对曲线方程特点的考察，这为学生课后探究由圆的几何性质如圆周角定理会演变成椭圆的什么性质起到了一个方法上的引领。

基于以上分析，本节课的教学重点：

掌握椭圆的简单几何性质及其应用；同时关注学生在探究椭圆几何性质的过程中思维层次的展现和思维能力的提高。

二、教学目标设置

根据《课程标准》要求和本节教学内容，并结合学生实际情况，我将本节课的教学目标确定为：

1.发现并掌握椭圆的简单几何性质,利用几何性质解决有关椭圆的长轴、短轴、离心率等问题。

2.通过对椭圆的几何性质的探索, 了解可以从数、形等多种途径得出椭圆几何性质，发展直观想象素养和数学抽象素养。

3.通过经历一个完整的探究学习过程,体会解析几何探究学习的基本规律,培养发现问题、探索问题、解决问题的能力。

三、学生学情分析

本节课的教学对象是高二学生。

学生在本节课之前已经具备的认知基础有：

（一）学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这为学生从椭圆图形和椭圆标准方程的结构特征等多个角度研究椭圆的几何性质奠定基础。

（二）类比直线方程和圆的方程能够使学生得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆的几何性质做好了准备。

（三）在幂函数和正切函数的性质与图像的学习中，学生经历了由函数解析式研究函数性质绘制图像的学习过程，为学生利用椭圆标准方程研究椭圆几何性质创造了经验。

（四）学生已经积累函数方程、三角、不等式等相关知识为利用椭圆标准方程的结构特征来探究椭圆的简单几何性质可以多样性探究奠定基础。

学生在本节课还需要强化的认知基础有：

（一）学生学习解析几何以来，结合方程较完整的研究曲线几何性质尚属首次，在思维转换运用上学生不能迅速到位。

解决策略：这需要学生积极思考交流，教师将学生的想法汇聚并适时点评，来实现学生真正意义上理解在解析几何中数与形的学习，一定是两只手一起抓，树立整体性学习方案，形成研究思路，让学生意识到本节课的学习为后续的学习起到方法上的引领，具有开篇价值。

（二）离心率概念较陌生有一定的抽象性，直接引入较生硬。

解决策略：在学习中，学生结合绘制的椭圆图形直观感知很自然地会分析到椭圆圆扁程度是由那些量刻画。针对学生充分思考交流提出的探究方案教师给与肯定，并引导学生意识到它们都是可行地、相通地，为了方便进行取舍，进而回归椭圆定义，让学生对定义再认识,结合几何画板加强直观感受。通过这一系列过程使学生感受到自己的探究有价值，体会定义的完美，至此得出离心率这一形象名称。

（三）在探究过程中,如何使学生自然的将原有的知识与现有的推理相联系,从多个角度联想、发现和解决问题获得椭圆的几何性质,从而提高发现问题、探索问题、解决问题的能力,实现学习方式的转变。

基于以上分析，本节课的教学难点为：

从数、形等多种途径探究椭圆的几何性质。

四、教学策略分析

策略一：营造一个完整的探究学习过程。整个过程包括提出探究问题、确定探究方案、完成探究过程。提出探究问题使学生真正成为知识的“发现者”，确定探究方案使学生真正成为知识的 “研究者”,完成探究过程使学生在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步提高发现问题、探索问题、解决问题的能力。

策略二：通过精心设计的问题,学生个体独立思考和小组合作探究相结合,学生汇报交流和老师的点拨引导相结合,从而建构知识、形成方法、培养能力,形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“探究问题”学习链。

策略三:重视学生生成,激发学生思维，使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动探究、积极合作交流的学习过程。

五、教学过程分析

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研讨素材三

【教学内容解析】

1. 平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何对象之间的关系和其本身的几何性质。

2. 圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型，其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用.

3. 椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用.

4. 能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点.

【教学目标设置】

1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质；能解释椭圆标准方程中的几何意义；

2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型；

3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵.

4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.

【学生学情分析】

（1）学生已有的认知基础

本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.

（2）达成目标所需要的认知基础

要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.

（3）教学难点与突破策略

基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是：

1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁；

2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化；

突破难点的相应策略如下：

1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验；

2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立与椭圆圆扁程度的对应关系，再利用与的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示，丰富学生的直观感悟与经历；

3.发动学生通过问题串进行交流、汇报，展示思维过程，相互启发.

【教学策略分析】

1.精心设置问题系列自然驱动

从明确解析几何的基本任务入手，精心设置问题串，引导学生操作、观察、比较、猜想、推理，解构教材，学习知识，形成能力，发展认识.

2.充分开展学生活动自主探究

站在学生的角度，从学生已有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自我领悟的空间，让学生在动手操作、观察比较、类比辨析、交流合作中理解知识，掌握研究方法.

3.适时提炼思想方法自觉升华

在利用方程探究几何性质的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用.

【教学过程分析】

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研讨素材四

一．教学内容解析：

椭圆是生活中常见的曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。

研究曲线的性质，可以从整体上把握曲线的形状，大小和位置。利用方程研究椭圆的简单几何性质之前，先引导学生想一想我们应该关注椭圆哪些方面性质。

研究椭圆的具体性质之前，先让学生观察图形直观得到性质，而后利用方程去研究。根据曲线的条件求出曲线的方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的几何性质则可以说是解析几何的一个手段。

方程研究曲线性质，即代数方法解决几何问题，将复杂的几何关系的研究转化为对曲线方程特点的分析，代数方法可以程序化地进行运算，代数法研究曲线的性质有较强的规律性，这是当年Descartes创立解析几何的直接目的。

二．教学目标设置：

(一) 知识与技能：

1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；

2.在图形中，能指出椭圆中的几何意义及其相互关系；

3.知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响；

(二) 过程与方法：

1. 通过画图并观察得到椭圆的一些性质，培养学生观察分析意识；

2.方程研究椭圆性质，让学生感受到解析几何的目的——代数法研究几何问题；

3. 让学生注意“顶点”“椭圆中心”的概念，体会到特殊与一般的区别；

4. 通过设置填表和例2（2），让学生体会类比法和分类讨论的重要性。

(三) 情感态度与价值观：

合作讨论突破难点，培养学生合作意识；通过对椭圆对称性及离心率对椭圆形状影响的研究，让学生感受到数学美；方程研究曲线的性质，可以程序化运算，感悟数学家创立解析几何的目的；结合之前的学习，学生发现曲线与方程的互相结合，体会出事物的辩证统一，相互转化的唯物主义。

三．学生学情分析：

本班学生数学基础参差不齐，学习水平发展不平衡；学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生接触过由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比较抽象，直接引入比较突兀，给学生明确的问题，结合适当的点拨与演示，是非常必要的。

四．重难点：

重点：

1. 用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；

2. 椭圆的简单几何性质。

难点：

1.用方程研究椭圆的范围和对称性；

2.离心率的引入

五．教学策略分析：

1.问题串引导学生探究式法，活动和探究相结合，问题作引导，引发积极思考；

2.学生实物投影展示和板演相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性；

3.在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重难点；

4.教师几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响，加深学生对离心率的认识。