教学研讨｜2.3.2 双曲线的简单几何性质

质，体现了数形结合的重要数学思想.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆.用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.本章开头展现了用平面截圆锥形成圆锥曲线的图片.圆锥曲线的发现与研究始于古希腊.当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的推广.17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有密切的关系.早在16、17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜就是由抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线……为什么圆锥曲线有如此巨大的作用呢？我们可以从它们的几何特征以及性质中找到答案.

通过方程研究曲线的性质是解析几何的主要内容.圆锥曲线的几何性质的研究是通过

它们的方程展开的，这体现了解析几何通过代数方法研究几何图形性质的特点，也就是坐标法.这一思想应该贯穿于整个解析几何的教学当中.本章我们继续采用必修2中研究直线与圆所用的坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单几何性质；在感性认识的基础上，进一步认识曲线与方程的对应关系.在这一过程中，进一步用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受“数形结合”的基本思想.

双曲线的简单几何性质这节课蕴含了丰富的数学思想和研究方法.首先，双曲线的范围、对称性、顶点的研究充分体现了数形结合的思想方法．其次，这节课继续采用坐标法进行研究，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用．再有，通过类比椭圆的简单几何性质研究双曲线的简单几何性质，通过焦点在轴的双曲线性质得到焦点在轴上的双曲线的性质，体现了类比的思想．

通过以上分析，本节课的教学重点：掌握双曲线的简单几何性质；理解坐标法的基本思

想．

二、教学目标设置

（一）教学目标

1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等简单几何性质.

2．通过类比椭圆简单几何性质的研究过程，自主研究并讨论双曲线的简单几何性质，

进一步理解坐标法的思想.

3．激发求知欲和学习兴趣，培养积极探索、发现新知识、总结规律的能力，培养规范

的答题习惯和语言表达能力．

（二）目标解析

1．在学习双曲线之前，学生已经学习过椭圆，对椭圆的几何性质的研究有所了解.因

此，教学中注意运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立有关双曲线简单几何性质的知识结构.2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非能复制与灌输．在探究双曲线简单几何性质的过程中进一步体会坐标法的思想．

3．在教学过程中要充分发挥学生的主观能动性，学生能干的事放心让学生干．教学过

程中，可以运用自主探究、小组讨论、主动纠错、相互交流、板演等方式，让学生开展自主学习、合作学习、延迟判断，不要把结论抛给学生，注意学习过程中学生自身作用的发挥.

三、学生学情分析

（一）学生程度

我所教学生为省重点高中的高二学生，本班学生中考成绩优异，思维活跃，学习参与度

高，善于表达、乐于发挥.

（二）知识层面

1．学生前面已经接触过椭圆的简单几何性质的研究；

2．对于坐标法的思想有了一定的了解.

（三）能力层面

1．具备一定的计算能力；

2．具有一定的数形结合解题思想的基础．

根据以上的分析学生具备一定的自主学习、合作学习的能力，在教学过程中可以充分发

挥学生的主观能动性，教师也要发挥好主导作用.教学难点：双曲线的渐近线．在教学中设置问题链，通过观察、演示、说明等过程突破难点.

四、教学策略分析

1．根据本节课的内容，为了更好地突破难点，借助信息技术，以几何代数软件为平台，

通过演示双曲线渐近线与双曲线无限接近但永不相交，让学生更好地理解与接受．

2．本节课采用的教学模式是自主学习、小组合作，经过导、思、议、展、评、检等教学环节，引导学生自主学习，充分调动学生的主观能动性．教师在教学过程中做到，“学生会的知识不讲”，“学生自己能学会的知识让学生讲”，并将教学内容编制成一系列问题，

通过问题解决，形成新的知识结构.

五、教学过程

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研讨素材二

一、教学目标

知识目标:

了解双曲线的简单几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。

能力目标:

通过观察、类比、转化、概括等探究,提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力.

情感目标:

使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情,感受事物之间处处存在联系.

二、学情分析

学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法,并已学过了双曲线的定义及标准方程.类比椭圆的简单几何性质的推导过程,利用双曲线的标准方程,通过学生自我思考,得出结论,同学交流展示,得出与椭圆相近的几何性质.在整个过程中教师的作用仅是启发诱导,点拨释疑,补充完善.让学生不断地通过思考,动手,发现新知的同时,体会到学习中的成功感

三、重点难点

1. 教学重点:双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质;

2. 教学难点:双曲线的渐近线.

四、教学过程：

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