教学研讨｜3.1.3 空间向量的数量积运算

对实数的研究经验告诉我们：只要引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种新的运算，就要研究相应的运算律.空间向量的数量积运算，是人教社A版数学《选修2-1》中继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.

高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。

二、教学目标设置

根据《数学课程标准》总体设计思路，结合本章内容的教学构思和学情，制定教学目标如下：

1.通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算.

2.经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题.

3.在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.

三、学生学情分析

学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在联系，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了“空间任意两个向量都是共面的”；在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提.即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积运算、运算律及其应用价值.

空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.

数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键.

基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：

重点：通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律，在运用数量积运算解决空间垂直问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值.

难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示几何元素并建立几何与向量的联系，将立体几何问题转化为向量计算问题；深刻体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！”.

四、教学策略分析

王家瑾教授提出的师生课堂互动模型，对教学的启示是在教学中教师、学生和教学内容之间必须建立联系，形成互动，达成协调，才能共同达到最佳状态，取得满意的教学效果。教师在教学中要加强与学生的互动，以自己的积极性调动学生的积极性，让学生乐学、好学，乐探索，好表达；再让学生的积极状态感染自己，促进自己理解学生，调整教学思路，提高教学水平以及责任心和荣誉感。

“学习金字塔”模型是师生课堂互动模型的一种有效补充。它很好地回答了应采用何种教学手段达到教师、学生和教学内容之间更好的联系、互动与协调，并对各种手段给出了一定的量化标准，更有利于教师对教学结果的控制。

在这两个模型引领下，强调以学定教。教学过程中，充分发挥学生主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式. 通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生“动起来”，让课堂“活起来”.在概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题赏析中，注重引导学生建立“已知”与“待求”间的“关联”.借助向量工具适时转化难点，设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想.通过课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师引领的辐射作用.

五、教学过程

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研讨素材二

李忠娟

【学习目标】

1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法

2．掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律．

【学法指导】

【重点难点】

重点：掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律．

难点：掌握两个向量的数量积的主要用途

【学情分析】