教学研讨｜3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
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各位专家评委、老师们：
大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.
我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.
一、教学背景分析
（一）教学内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课.
本章知识结构
《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化，进而为后面的立体几何问题的解决服务.
但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.
因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度增加所带来的影响.”
“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考 向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广.”
而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，仔细研究教材的编写意图，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一，同时通过教材的阅读与思考环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空间结构的认识的升华过程，巧妙至极！
（二）学生学情分析
在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.
因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易的，但是证明唯一性具有一定的难度. 同时有了平面向量坐标的定义，得到空间坐标的定义是容易的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性的理解却是模糊的.
因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：
重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义.
难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．
二、教学目标设置
依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：
1、 通过类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；
2、 理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；
3、 体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积问题的意义所在；
4、 掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；
5、 体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与必要性，并将本节课所获得的结果，在高维向量空间作简单的推广，培养学生的类比归纳能力.
三、教学策略分析
鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略：
1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；
2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；
3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构特点上的统一性，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；
四、教学过程
为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：
陈科钧
一、新设计
本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》(选修2-1)中第三章空间向量与几何体:第一节“空间向量及其运算”的第四课时;空间向量是平面向量的推广,是近代数学的一个重要工具,是联系代数、几何、三角的重要桥梁,为用空间向量解决立体几何问题做好铺垫,同时通过不断与平面向量的正交分解及基本定理进行类比学习,不断将三维空间问题向二维平面问题转化,充分体现了类比与转化思想在研究问题过程中的作用。
二、教学目标
1.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,并会选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2.通过类比,转化,归纳,推广等思想,提高观察、分析、抽象概括的能力,进一步培养学生的空间观念。
3.通过本节课学习,培养学生的积极探究,合作学习,不断创新的思维品质。
三、学情分析
学生在这之前已经学习了必修4中的第二章:平面向量,必修2中的第二章:点、直线、平面的位置关系以及第四章第四节:空间直角坐标系。已经掌握了平面向量的相关知识,空间向量的线性运算与数量积运算,同时体会到平面向量与空间向量的高度和谐性。但同时学生对向量的推广到空间还缺乏深刻的思考,思维还具有片面性、不严谨的特点,对问题解决的一般性过程认识还不到位。
四、重点难点
重点:理解空间向量基本定理及其意义;掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 难点:理解平面向量基本定理及其意义及其证明过程(任意性、唯一性、任意性)。
五、教学过程
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