江苏名师孙四周：还 原 祖 冲 之 ——我是如何在中学讲割圆术的

本文刊于《教育研究与评论》2017.5

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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一、概说

中国人讲数学文化时，基本不会错过祖冲之的圆周率及割圆术。但是，“讲什么”以及“怎么讲”却是人人言殊。任何一个数学文化的教学，都存在着目标定位与方法选择的问题。有的人把文化当做知识，有的人当做政治，有的当做趣味故事，有的当做数学题目……有什么样的观念就有什么样的行为，并呈现出不同的课堂形态和教学产出。

在此，先给出我所见过的讲解圆周率的方案，以作比较之用。

方案1（当知识教的）告诉学生，我们的祖先很早就求出圆周率7位小数的精确值，领先于世界1000多年。然后介绍世界各国求取圆周率的年代和成就，形成历史性的对比。

方案2（当政治教的）告诉学生，我们祖国有光辉灿烂的古代文明，很值得我们骄傲与自豪。而且祖冲之又编制了新的历法《大明历》，是世界公认的科学伟人，月球上的一个环形山就是以祖冲之的名字命名的。我们要像祖冲之那样，爱我们的国家爱我们的民族，努力学习，继承祖国优秀的文化传统。

方案3(当趣味故事教的)讲祖冲之如何克服守旧势力的干扰求出了圆周率，他没有计算器，甚至连算盘都没有，使用的是筹算。他把算筹摆满了3个房间，克服了千辛万苦，为祖国赢得了这个巨大的荣誉。

方案4（当数学题教的）讲祖冲之是怎样求取圆周率的，在那里需要用到哪些知识以及当时如何处理。

上面的方案算是有代表性的，实践中被使用的可能远不止这些。它们各有所长，但都不是我所满意的。告诉学生“我们的祖先很厉害”，并不能对他们的发展起到多大的作用，如果不能让他们自己变得“更厉害”的话。下面我从现象学的角度进行分析，然后给出一个我设计的教学方案。

二、现象学的视野

上面方案，都是把“祖冲之求出圆周率7位小数的精确值”当做确定无疑的知识递给学生的，所不同的仅仅是传递的方法。如果把它当做一种现象，则事情并不是这么简单、也不是这么没有疑问。

祖冲之的原始成果是给出“盈数3.1415927”和“朒数3.1415926”，然后说“正值在盈朒二数之间”。也就是说，他给出的是一个范围并不是一个值。根据刘徽所说（也是祖冲之所相信）的“割之弥细，所失弥少”，当多边形的边数增加时，他得到的是一个递增数列，认定它有下界很正常，但是靠什么认定有上界呢？仅仅是直观估计吗？这恰是为历代研究者所忽视的问题。

1  边长不可能是测量出来的

按照现在广泛流传的说法，“祖冲之设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算，一直切割到二万四千五百七十六边形……”这里给人印象最深的字眼是“切割”两个字，大多数人也认为祖冲之是画出了24576边形后进行计算的（科学史界对祖冲之割圆的边数有不同说法，从1536到49152都有，此处从华罗庚说）。而真实情况不可能如此，祖冲之的成就绝非来自“实际的切割”．即使他真的切割到24576边形，度量出来的边长也将毫无价值．分析如下：

直径为1丈的圆，周长将约是3.1415926丈。在等分成24576份以后，每一份的长度（弧长）等于0.00012783173丈，即大约0.04261厘米。这是弧长，多边形的边是这条弧所对的弦，弦的长度还要小于这个弧长，因此必然小于0.5毫米。对于画在地面上的0.5毫米线段，即使用现在的仪器来测量，精确性也没法保证。

况且，人不可能在现实中画出一个“真的”圆来，画出来的只能是近似的圆；画圆的场地不可能“真的”是平面，只能是大致平整的；用以画圆周的线也不可能没有宽度，一定是有宽度的；在“等分”圆周的过程中，误差不可能控制在小数点后8位……，诸多的不可控因素，使得“割圆24576份”显得毫无操作的可能．

还有一点必须注意，中国古代没有人研究过等分一个角的技术，因此每次分割都只能去等分弧，而“等分”的方法也只能是测量．假设所画圆周的“线宽”是0．2厘米，则在等分成24576份以后，分点都已经不好表示，“弦长”也已经比圆周的“线宽”还小许多．即使祖冲之精益求精，把上面的每一项都做到极致，根据当时的测量水平，测量出的数据也将没有丝毫价值．

所以，祖冲之不可能真的把圆分割到24576等份，再去测量它的内接多边形的边长．

2 祖冲之的成果只能来自于迭代

为了便于理解，我们把刘徽的工作翻译成今天的数学语言．刘徽分析用到是面积，为了学生理解上的方便，我们把它简化成边长。除了少计算了面积以外，内容上没有任何本质的改变．           

刘徽从圆的内接正六边形开始，每次都把边数加倍（如图1，2），即正6、12、24、……边形逐次加倍，传说他得到徽率（3.1416）时一直切割到192变形。他为什么不是直接作一个192边形，而是从六边形开始逐次加倍呢？其中的玄机将在下文中揭晓．

为便于解析，我们画出下面的局部图（图3）．其中O是圆心，AB是某个内接正多边形的一边，是弧AB的中点，和是边数加倍后的正多边形的两条边．

一个递推数列，又不能求出通项公式，还能怎么做呢？只有一条路了，那就是迭代：先由正六边形算正12边形，再由12边形算正24边形……，

回过头去再看，我们发现刘徽不是直接作出192边形而是从正六边形开始逐次加倍，原因只有一个，那就是他“割圆是假，迭代是真”．“割圆”只提供了一种思想，实际上无法在具体的圆上实施，能够实施的只有迭代．同样地，祖冲之也只有“迭代”这一条路，别无选择．

今天我们用计算机计，可以很轻松地模拟祖冲之的迭代过程，得到下面的表一（保留到小数点后8位）：

表一：前12次迭代

迭代次数	正多边形的边数	圆周率的值	备注
0	6	3．00000000	径一周三
1	12	3．10582854	逐 渐 递 增 看 不 出 上 界
2	24	3．13262861
3	48	3．13935020
4	96	3．14103195
5	192	3．14145247
6	384	3．14155761
7	768	3．14158389
8	1536	3．14159046
9	3072	3．14159211
10	6144	3．14159252
11	12288	3．14159262
12	24576	3．14159265

由表一可以看出π值逐渐增加，且在第11次迭代的时候进入了祖冲之所说的范围，第12次时仍在范围内，此时的边数为24576．

问题是，祖冲之能不能完成这些迭代呢？完成这个迭代，最高级的计算就是开平方，而这项技术完全在祖冲之的掌握之中．中国古代的《周髀算经》中就已经记载了具体数字的平方根，也就是说那时就有了开平方的意识．《九章算术》中更是详细介绍了开平方的方法、步骤，用的是中国古人最拿手的“出入相补原理”。而且在世界上首开先河，用了十进制来表示小数．刘徽在为《九章算术》做注的时候，又绘制了彩色的图解．“析理以词，解题用图”，详尽入微，形象直观．所有这些，作为皇家数学家、又是当时最高水平的数学家的祖冲之自当了然于胸．

总结一下：开平方的技术、十进制表示小数、割圆术的思想、筹算的本领、自由思考的环境……，祖冲之赶上了那个“需要伟人也产生了伟人”的好时代．

3 上界的由来

回头再看表一中的圆周率变化规律，发现在迭代到第11次的时候首次超过3．1415926；到第12次的时候，值仍在增加，而且末两位从“62”增大到“65”，幅度不算小．如果就此认定它不会超过“70”，理由很不充分，必须继续迭代．

表一续：第12-15次迭代

迭代次数	正多边形的边数	圆周率的值	备注
12	24576	3．14159265	稳 定
13	49152	3．14159265
14	98304	3．14159265
15	196608	3．14159265

令人惊奇的是，此后每一次得到的值都是3.14159265，结论已经很明显。

但是有一点我们必须记住，电脑不同于人脑。电脑只会根据人的指令一直计算下去，人脑却会及时调整。比如在第12次算出3.14159265后，第13次算出的值仍然是它。注意到迭代总是用上一次的值代入求出下一次的值，人脑可能会断定下一次还是这个值，并且一直会“重复下去”。这样就不会再有第14、15次迭代了。

于是可以作这样的推测：祖冲之在第12次迭代得到3.14159265后，发现增幅仍然较大，无法下结论。于是再一次迭代，而此时，奇迹出现了——数据稳定在3.14159265上。

结论：祖冲之的迭代必须且只需进行到第13次，相对应的多边形边数是49152．

当然对于49152边形，如果从“作图等分圆周”的角度讲，也是无法操作的．但是作为迭代，则纯粹是摆弄算筹，对祖冲之而言毫无障碍，仅仅需要一点耐心而已．

尤其应该注意的是：在发现值“永远稳定”在同一个值以后，祖冲之并没有一口咬定圆周率就等于这个数（3.14159265），而是给出上下界（盈朒数）做出估计说“正值在盈朒二数之间”。为什么他不给出一个“精确值”而只给出一个“估计值”呢？因为每次迭代都是取的近似值，对此他有真切的体会。即使后来数值“稳定”了，也难以保证这就是“正值”。祖冲之认识的深刻性确实远超于常人，但是如果不是亲历了迭代的全过程，很难想象这样的认识该从何而来。

Step3 告诉学生，是个无理数。让他们明白，所有的测量与实验都不可能得到真正的值。数学可以在实验中受到启发，可以在现实中得到推动，但是数学不是实验的科学。不论你铺豆子的水平有多高，不论你测量的技术有多精，那都不是数学本身。那么，该怎么来求的值呢？

Step4 介绍中国的割圆术（希腊阿基米德也用过）即刘徽的工作。让学生领会到割圆术的原理好操作步骤。

Step5 放手让学生使用割圆术求圆周率。期间有老师的引导与启发，学生完成上面所分析的构造数列及迭代计算工作（此处过程略）。

Step6 体会割圆术与实验法的区别。认识到数学是让世界变简单的学问，也是给人以精神的自由并让人的价值得以体现的学问。

四扩展性的数学研究活动：一组新的表达式

在上述的教学设计以外，还可以让一部分能力强的学生进一步完成深入的研究工作，体验一下科学研究的乐趣。

祖冲之的圆周率计算，达到了一个辉煌的顶峰．即使以地球到月亮的距离为半径作圆，用盈朒二数的中间值（即3．14159265）去计算周长，误差也只有大约2.67米．如果单从应用的角度看，即使在现代航天飞行中，其精确度也已经够用．

但是，所有的实验、测量和近似计算都不可能得到真正的值．因为是一个超越数（林德曼，1887），它不可能是两个小数（不论多少位）的比值．人类不停地研究值，不仅是为了应用上的需要，还有精神上的需要，即通过认识自然来体现人的存在和人的价值．比如“证明是超越数”，主要体现的是认识论价值而非实际应用的价值．这个目标只有在给出了的表达式后，才能实现．因此，表达式的出现是圆周率研究上又一次质的飞跃．

世界上第一个给出表达式的是法国数学家、举世公认的代数学之父韦达，他的公式是：

以后又有欧拉、莱布尼兹、高斯、勒让德、拉玛努杨等多位数学家分别给出了的表达式，看看这些人的名字你就可以想见它的意义，的每一个计算公式都牵扯到数学的多个门类和多种技巧．一个有趣的现象是：但凡新建立的数学学科，只要有可能，总会首先用自己的理论把研究一番（比如概率论和计算机学科等）．可以说，的研究代表了一个国家的数学发展水平．中国的圆周率研究曾经领先于世界1100多年，但是没有一个中国人提出的新表达式，这多少有点愧对古人．令人欣喜的是，我们现在就可以给出的表达式，而且给出无数多个（定理2及推论）．

结语数学文化不仅仅是那些有形的符号、概念、公式、定理等，还有凝聚于其中的思想和方法。如果我们把它当做固定的成果来继承，则我们就是承载者或曰负荷者；如果我们把它当做鲜活的现象来对待，则我们就是探究者或曰（再）发现者。牛顿说自己“站在巨人的肩膀上”，就是因为他把前人的成果当做可以踏步的阶梯，而不是扛在肩上的宝藏。学生学习数学文化，应该使他们的视野更开阔、胸怀更远大、步履更从容，而不是相反。在现象教学的框架下，数学文化是认识的客体而不是膜拜的对象。在学生的活动中它们将重新在人的智慧里闪光，并在学生的生命长时间里焕发出新的活力。

参考文献

[1]郁组权著中国古算解趣，北京：科学出版社，2008．8．

[2]钱宝琮著，中国数学史，北京：科学出版社，1981．1．

[3]沈康身著，九章算术导读，武汉;湖北教育出版社，1996．5．

[4][美] 莫里斯·克莱因著 张理京，张锦炎，江泽涵等译.上海：上海科学技术出版社2013.11

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现