华东师大博导汪晓勤教授：用于教学的数学史材料的选择：原则与课例分析

本文刊于《中学数学教学》2017.12（37-43）

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

   欢迎朋友们来稿！来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式。特别欢迎原创文章。只接受word版式的电子稿，文责自负。投稿邮箱：      [e-mail]

汪晓勤简介

汪晓勤，博士，华东师范大学教师教育学院教授、博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究。先后在《自然辩证法通讯》、《自然辩证法研究》、《Science& Education》（欧洲）等刊物发表或合作发表论文三百余篇，著有《数学文化透视》（2013）、《HPM：数学史与数学教育》（2017）、《数学史与初中数学教学：理论、实践与案例》（2019，与栗小妮合作）等，译有《黎曼博士的零点》、《如何切蛋糕》、《魔法数学》等。先后主持国家自然科学基金天元青年基金项目、上海教育科学研究项目、国家社会科学基金教育学重大项目（子项目）等。2017年，课题“数学史融入初中数学教学的实践研究”荣获上海市基础教育教学成果一等奖。2018年，创建华东师范大学HPM工作室，开始致力于HPM研究、实践、传播与中小学数学名师的培养。

用于教学的数学史材料的选择：原则与课例分析*

陈晏蓉 汪晓勤

（华东师范大学教师教育学院, 上海, 200062）

摘要：在HPM课例研究中，选取合适的材料用于教学是重要的第一步。本文依据有关教学原则或课程原理，结合数学史的教育价值，提炼出选择数学史材料的五项原则——趣味性、可学性、有效性、人文性和科学性。对5个高中HPM课例的分析表明，除了趣味性和人文性，其他三个原则都得到了较好的体现。

关键词：数学史，五项原则，HPM课例

1引言

近年来，数学史融入数学教学的实践与课例开发已成为数学史与数学教育（HPM）领域的重要课题。随着实践研究的深入开展，HPM课例日益增多。很多一线教师对HPM都产生了浓厚的兴趣，但HPM在中小学却陷入了“高评价、低应用”的境遇。其原因主要有两点：一是一线教师没有足够的数学史料，“巧妇难为无米之炊”；二是教师不知道如何从已有的史料中选取合适的材料用于教学，或者不知道如何对史料进行裁剪和加工。

另一方面，HPM课例开发往往是由学习共同体完成的，遵循“选题与准备”“设计与研讨”“实施与反馈”“整理与写作”的统一流程。该流程的第一个环节涉及数学史料的选择问题。在已经发表的HPM课例（参阅本刊专题研究栏目中的有关论文）中，我们很少能看到数学史料的具体选择过程和依据。因此，需要建立一个史料选择的原则或标准，以便能够更好地指导一线教师开展实践研究。

有鉴于此，本文拟回答如下问题：在HPM课例设计之前，选择数学史料所依据的原则是什么？已有HPM课例中教师对于数学史的选择是否符合这些原则？本文旨在依据已有相关数学教育文献，结合数学史的教育价值，提炼出史料选择的原则，并通过有关课例的分析，检验这些原则的合理性。

我们选取5个HPM教学课例^[1~5]作为研究对象，这些课例涉及代数和三角学，均为新授课。

---

*上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地——上海数学教育教学研究基地子课题研究成果。

2数学史材料选择的五项原则

2.1 相关的数学教学原则

匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚（G. Pólya,1887~1985）在《数学的发现》中提出数学教学的三个原则^[6]——主动学习原则（P₁）、最佳动机原则（P₂）和循序渐进原则（P₃）。主动学习原则指的是在给定条件下应当让学生尽可能多地靠他们自己去发现；最佳动机原则指的是教师应当注意选择好的问题，这些问题最好是有趣的、带有一些实际应用的特色，从而激发学生的学习兴趣；循序渐进原则指的是学习过程从行动和感知开始，进而发展到词语和概念，以养成合理的思维习惯而结束^[8]。

美国著名数学家和数学教育家M·克莱因（M. Kline, 1908~1992）提出数学课程的四个原理^[7]——兴趣原理（K₁）、动机原理（K₂）、直观原理（K₃）和文化原理（K₄）^[8]。其中，兴趣原理指的数学课程应激发学生的学习兴趣；动机原理指的是数学课程应该揭示相关知识的必要性，激发学生的学习动机；直观原理是指数学课程必须直观地揭示每个数学思想或过程的涵义；文化原理则是指数学课程应反映数学与其他知识领域（科学、哲学、艺术等）之间的关联性。

2.2 数学史的教育价值

已有的实践研究表明，数学史具有六类教育价值：知识之谐（V₁）、方法之美（V₂）、探究之乐（V₃）、能力之助（V₄）、文化之魅（V₅）和德育之效（V₆）^[9]。其中，“知识之谐”是指数学史揭示了知识自然发生发展的过程，符合学生的认知规律，揭示数学的本质，促进学生对数学的理解；“方法之美”是指展现数学方法的多样性和数学思维的灵活性，培养学生的创新思维；“探究之乐”是指数学史作为数学问题的宝藏，为学生提供了丰富的探究机会；“能力之助”是指数学史有助于发展学生的数学素养、培养学生数学阅读、表达、表征转换等多方面的能力；“文化之魅”是指数学史揭示了数学与现实世界以及人类其他知识领域之间的联系、数学文化的多元性以及数学和数学活动的本质；“德育之效”是指数学史能激发学生的兴趣，培养坚持不懈、尊重、包容、倾听、正直、诚实等良好的个性品质。

2.3 五项原则

通过对已有文献中的数学教学原则进行整合，结合数学史融入数学教学的六类价值，我们总结出数学史融入数学教学宜遵循趣味性、可学性、有效性、人文性和科学性这五项原则。各项原则的具体内涵见表1。

表1 选择用于教学的数学史材料所依据的五项原则

原则	内涵	数学教学或课程原则	数学史教育价值
趣味性	选取的数学史材料应该能够激发学生的学习兴趣和动机。	P2，K1，K2	V6
可学性	所选取的历史材料知识应符合学生的认知基础。	P3	V1
有效性	所选取的数学史料应有助于学生理解、掌握和运用相关知识。	P1，K3	V1，V2，V3，V4
人文性	所选取的数学史料应与数学家相关联，反映数学背后的人文精神；或反映数学与其他知识领域之间的联系，揭示数学的文化价值。	K4	V5，V6
科学性	所选取的数学史料应有明确的文献出处，符合史实。	_	V1，V2，V3，V4，V5，V6

3五项原则在HPM课例中的体现

3.1 对数的概念^[1]

本课例首先通过特殊正整数的乘法，让学生感受计算之繁；接着，通过特殊的数表（以2为底的正整数指数幂与指数对应），让学生体会乘法可以简化为加法；再引出天文学上的大数运算，让学生看到相乘的两个大数不在数表中（即不是2的正整数指数幂），因而数表失效；而在试图寻找相应的指数时，发现这样的指数难以精确求得，需要定义新的数。由此引入对数定义。通过指数与对数的互化巩固对数概念。整节课中，教师运用了四则史料。

（1）等差和等比数列之间的对应关系。15-16世纪，许多欧洲数学家在各自的著作中都运用了等差和等比数列的对应关系，将乘除运算简化为加减运算。如法国数学家许凯（N. Chuquet, 1445-1488）在其《算学三部》中给出了双数列之间的对应关系（表2），等比数列

表2 双数列之间的对应关系

1	2	4	8	16	32	64	128	…	1048576
0	1	2	3	4	5	6	7	…	20

的乘除运算对应等差数列的加减运算。由于等比数列相邻两项之间的间隔太大，这样的双数列效用并不大。纳皮尔（J. Napier, 1550-1617）构造了相邻项之间间隔很小的等比数列，从而发明了对数。本课例从学生熟悉的整数乘法出发，通过数表的作用和局限性，再现了对数的发现过程，揭示了对数的必要性，促进了学生对对数的理解，也为对数运算埋下伏笔。此外，材料还展示了数学与天文学间的关系，因此，史料的选择符合趣味性、可学性、有效性和人文性原则。

（2）古巴比伦泥版上的利息问题

古巴比伦泥版上载有以下问题：年息20%，一定数目的钱经过多长时间后的本利和成为原来的两倍？该问题与生活实际息息相关，切合课本上的对数定义，反映了对数的用途，符合趣味性和有效性原则。

（3）对数的历史故事

纳皮尔经过整整20年的努力，终于在1614年发明了对数。翌年，伦敦数学家布里格斯（H. Briggs,  1561-1630）远赴爱丁堡拜访他，这场“旷世之约”导致了常用对数的诞生。这个故事激发了学生的兴趣，并留下人生启迪。该史料选择符合人文性原则。

（4）对数的辞源

17世纪，笛卡儿（R. Descartes, 1596-1650）发明了幂的记号，指数概念由此而生。直到17世纪末，人们认识到对数可以定义为幂指数。此后，瑞士数学家欧拉（L. Euler, 1707 -1783）创用了这一记号。明代数学家薛凤祚（？-1680）在《比例对数表》（1653）中首次将纳皮尔的logarithm一词译为“对数”。清代康熙皇帝主编的《数理精蕴》下编卷38“对数比例”中对双数列之间的关系做了详细的介绍。

本课例中，教师追溯了对数的辞源，帮助学生理解“对数”中的“对”的涵义，促进学生对对数概念的理解。在小结环节，引用《数理精蕴》中的一段话作为结尾：“对数……以假数与真数对列成表，故名对数表。其法以加代乘，以减代除，以加倍代自乘，故折半即开平方。以三因代再乘，故三归即开立方，推之至于诸乘方，莫不皆以假数相乘而得真数。盖为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也。”^[1][9]说明对数的运算法则，为后续学习埋下伏笔。这里，史料的运用符合有效性原则。

3.2 数列的概念^[2]

本课例以古巴比伦月相表、莱因德纸草书中的猫鼠问题以及根据约瑟夫故事改编的课堂小游戏为引例，归纳出数列的定义。在对概念进行辨析并给出不同表征之后，引入数列通项的概念。例题和练习部分聚焦数列的通项公式。最后，通过微视频展现数列在天文学上的应用。课例中运用了四则史料。

（1）古巴比伦泥版上的月相表

大英博物馆所收藏的巴比伦泥版K90（公元前7世纪）记录了一张月相表：将满月分成240部分，则从新月开始，每天的月相情况构成了一个数列（见表3第二行）：前5项构成公比为2的等比数列，第5~15项构成公差为16的等差数列。^[10]

表3 月相变化表

1	2	3	4	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
5	10	20	40	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240

事实上，古巴比伦泥版中含有许多与数列相关的内容，教师选用月相表作为引例，目的是呈现数列与生活之间的密切联系，从而突出数列学习的必要性，激发了学生的学习动机；同时，月相变化规律反映了数列的“序”的本质特征，有助于学生对数列的理解。因此，该材料符合趣味性、人文性和有效性原则。有助于学生

（2）莱因德纸草书中的财产问题

古埃及纸草书上不乏有关数列的内容，选择猫鼠问题，显然是因为该问题是一个趣味数学问题，并且又适合于用作关于通项公式的例题。因此，该材料符合趣味性和有效性原则。

（3）约瑟夫问题

公元前4世纪的一部著作里，海格希普斯讲述了约瑟夫运用智慧自救的故事。当罗马人攻陷Jotapat后，约瑟夫和另外40个犹太人躲到一个山洞里避难。可是，除了约瑟夫和他的一位好朋友之外，其余39人都决定自杀，以避免落入罗马人之手而遭受折磨。约瑟夫提出在临死之前大家不妨玩一个游戏娱乐一下。他提出的游戏规则如下：所有人排成一圈，随机从某一位置开始点数，将逢三者拉出圈子杀掉，最后剩下的一个人自杀。约瑟夫将他自己和好朋友分别安排在16和30号位置上，成功地避开了死神。

在本课例中，教师将约瑟夫的故事改编成了课堂小游戏：10个同学排成一圈，随机从某一位同学开始，逢三点数，点到者出列，让最后剩下的那位同学请大家吃薯愿。该游戏既有趣又突出了“序”的本质特征，符合趣味性和有效性原则。

（4）提丢斯—波德律

18世纪，德国数学家提丢斯（J. D. Titius, 1729-1796）用一个特殊的数列4，7，10，16，28，52，…来表示太阳系行星（水星、金星、地球、火星、木星、土星）与太阳之间的相对距离，该数列被后人称为“提丢斯—波德律”。对28这一项所对应的可能“行星”的寻找，导致了谷神星的发现。教师以微视频展现了数列在天文学上的这一应用，进一步揭示了数列学习的必要性以及数学和天文学的密切联系。微视频所用的史料符合趣味性、有效性和人文性原则。

3.3 复数的概念^[3]

本课例中，教师先用现实情境让学生求和为10、积为24的两个数，进而引出16世纪意大利数学家卡丹的问题，学生发现问题没有实数解。接着，给出邦贝利的三次方程求根问题，进一步让学生面对“两数之和为实数，但这两个数却都不是实数”的事实。由此引出复数概念。本课例使用了三则史料。

（1）卡丹问题

中学教师普遍认为，三次方程求根问题太难，不符合可学性。本课例中，教师分别呈现运用三次方程求根公式所得到的根以及用因式分解得到的根，从而降低了难度。通过三次方程的根来引入虚数概念是最令人信服的，符合趣味性、有效性和人文性原则。

（1）虚数的辞源

1777年，瑞士数学家欧拉（L. Euler, 1707-1783）用“imaginary”一词的首字母i来表示虚数，本意是它只是存在于“想象之中”。教师向学生解释虚数的辞源，让学生体会历史上数学家对于虚数的困惑，从而感受虚数概念的缓慢而艰辛的发展历程。“虚数”的辞源符合人文性原则。

3.4 正弦定理^[4]

本课例通过流星测量问题来引入正弦定理，在利用“作高法”证明正弦定理后，引入梅文鼎简化的“同径法”，在探究边与对角正弦的比值时，引入韦达的“外接圆法”。最后教师简要介绍了正弦定理的历史。课例涉及以下史料。

（1）流星测量方案

10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希（al-Kuhi）曾提出流星的测量方案：位于不同地点的两个测量者观测同一颗流星，通过两地的距离、仰角，可以求得流星离大地的高度。教师将该方案改编成流星测量问题，由此引入正弦定理，揭示了正弦定理的必要性，以及数学与天文学的联系，符合趣味性、有效性和人文性原则。

（2）“同径法”的简化

历史上，正弦定理的几何推导方法可以分为“同径法”和“外接圆法”。“同径法”最早为13世纪阿拉伯数学家纳绥尔丁（Nasir-Eddin, 1201-1274）和15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus, 1436-1476）所采用。17-18世纪，中国数学家家梅文鼎（1633-1721）和英国数学家辛普森（T. Simpson, 1710-1761）各自独立地简化了“同径法”。上述方法使正弦定理更加直观，促进了学生对该定理的理解，因而符合可学性与有效性原则。

（3）外接圆法

“外接圆法”最早为16世纪法国数学家韦达（F. Viète, 1540-1603）所采用，20世纪初，“外接圆法”演化为“辅助直径法”^[10]。该方法让学生感受数学思维的灵活多样性，帮助学生更好地理解和掌握推广的正弦定理（任意三角形一边与其对角的正弦之比等于该三角形外接圆的直径），符合有效性原则。

（4）有关数学家

教师简要介绍了正弦定理的历史以及数学家韦达和梅文鼎的故事，揭示了数学背后的人文精神，符合人文性原则。

3.5 两角和差的三角公式^[5]

教师根据古希腊数学家帕普斯的和角公式几何模型，设计一系列问题，帮助学生利用几何图形以及代数推导两角和的正、余弦公式，并引导学生进一步推导两角差的正、余弦公式。又根据韦达和差化积公式的证明，引导学生进一步证明其余和差化积公式。本节课主要采用了两则数学史料。

（1）和角正弦公式的推导

公元3世纪末，数学家帕普斯（Pappus, 3世纪末）在其《数学汇编》第5卷第4部分给出了如下命题^[9]：如图1，设H是以AB为直径的半圆上的一点，CE是半圆在点H处的切线，CH=HE；CD和EF为AB的垂线，D、F为垂足。则(CD+EF)·CE = AB·DF。当a+ b< p/ 2时，即得图2所示的和角公式几何模型。

对5个课例所用数学史料的分析表明，绝大多数史料都符合学生的认知基础；都符合史实，有明确的文献出处；都能揭示知识的必要性，促进学生对相关知识的理解，因此，这些史料满足可学性、有效性和科学性原则。但一些史料的趣味性和人文性较弱。究其原因，一方面，高中数学教师更关注数学史对数学理解的帮助，更关注数学史料所蕴含的思想方法，而并不去刻意追求趣味性和人文性；另一方面，虽然历史材料丰富多彩，但要选择一则同时满足五项原则的史料，却并非易事。

在将数学史融入数学教学时，教师需要深刻认识数学史的六类教育价值。充分挖掘知识的教育价值，是实施有效教学的要求，根据趣味性、有效性和人文性原则来选取数学史素材，能够确保数学史教育价值的最大化，避免为历史而历史。其次，教师也需要关注学生的认知基础。很多史料并非像我们想象得那样简单易懂，如果一则数学史素材不具备可学性，就不可能产生应有的教育价值。最后，科学性原则确保数学史料的真实性，离开科学性，我们不可能开发出真正的HPM课例，数学史融入数学教学就成了一句空话。因此，教师需要参考原始文献或权威的二手文献，这对中小学一线教师来说难度很大，不过，大学研究者和中小学一线教师的合作，能够很好地解决这个难题。

参考文献

[1] 钟萍,汪晓勤. 对数概念: 从历史到课堂[J]. 中学数学月刊, 2015, (5): 50-53.

[2] 李玲,汪晓勤. 数列的概念 [J]. 教育研究与评论(中学教育教学), 2016, (4): 61-65.

[3]方国青, 王芳. HPM 视角下“数系的扩充与复数的引入”课例研究 [J]. 数学教学, 2013, (4): 4-29.

[4]张筱瑜, 汪晓勤. “正弦定理”: 用历史拓思维、润情感[J]. 教育研究与评(中学教育教学), 2015, (6): 21-25.

[5]张小明. 两角和差的三角公式推导——数学史融入数学教学的课例研究 [J]. 数学教学,  2007, (2): 42-44.

[6] Pólya, G. Mathematical Discovery [M].New York: John Wiley & Sons, 1965. 132-133.

[7] Kline, M. The ancients versus the moderns: a newbattle of the books[J]. MathematicsTeacher, 1958, 51(6): 418-427

[8] Wang, X., Qi, C., Ke, W. A Categorization model foreducational values of the history of mathematics: an empirical study. Science and Education, 2017. Online.

[9] 汪晓勤. HPM: 数学史与数学教育[M]. 北京: 科学出版社, 2017

[10] 汪晓勤. 泥版上的数列问题[J]. 数学教学, 2009(12)

[11] 汪晓勤. 纸草书上的数列问题[J]. 数学教学, 2010(1)

[12] 汪晓勤, 赵瑶瑶. 莱布尼茨与虚数[J]. 湖南教育, 2006, (24): 42-43+37.

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现