江苏名师孙四周：我的情感体验——从根号2的证明谈起

原载《教育评论与研究》2016.2

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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无论从数学上、还是从文化上和美学上，欧几里得关于根号2是无理数的证明，都堪称经典。它逻辑上的严谨、表达上的精致、思想上的深邃、价值观上的引领，都达到了很高的境界。以至于学数学的人会想到它；学思想史的人会想到它；学美学的人还是会想到它。

我第一次接触这个证明的时候就感到心灵的震撼，那种震撼效果，到现在还记忆犹新。而且，从那以后直到现在，接近40年了，我对那个证明一直在回味，一直在加深理解，也一直在寻找新的方法和新的视角。可以毫不夸张地说，这个证明始终没有离开过我。在此，愿意把我的心路历程写出来，与大家分享。这是个过程回放，跨度长达几十年。为了使表达能更清楚一些，便于大家的阅读，我在叙述的时候加进了现在的理解与诠释。
    一、心灵上的震撼——这个竟然是可以证明的！

我清楚地记得我们当时所使用的初一教材上，对有理数和无理数是这样定义的：有限小数和无限循环小数，叫有理数。无限不循环小数叫无理数。有理数和无理数统称为实数（当时老师要求我们背这些概念，我还清楚地记得。即使我不当数学教师，到现在应当也不会忘记）。

后来，老师把证明讲给我们听。虽然那时理解起来有困难（里面有反证法、有整除性、关键是有“设字母”），我只能模模糊糊地知道那个证明是能讲得通的。

就是那个懵懵懂懂的证明，给我的心灵带来了巨大的震撼，使我惊叹不已：这竟然是可以证明的！

这样，我对数学这一学科有了新的看法。小学里的理解是：数学就是算账，能计算就是数学要学的全部。我家在农村，父母送我们上学的目的就是希望我们“会写信”、“会算账”。我们小学里的老师都是民办教师，文化程度也不高。老师也告诉我们，数学学好了你就会算账，就可以在买东西和卖东时计算钱的多少。这就是父母和老师交给我的“数学观”。

经过了这个证明，我对数学的认识改变了。虽然变成了什么我还不知道，数学究竟是什么我还不清楚，但是，“数学就是算账”的观念被这个证明击垮了。试想，如果老师没让我们“证明根号2是无理数”，而是按照书本的内容，接着讲有理数的加减乘除四则运算、讲通分化简符号变换。那么，我还将继续认为“数学就是算账”，只不过认为计算的对象扩大了而已。

所以说，这个证明给我带来的心灵冲击是巨大的，它让我改变了对数学的根本看法。我接触这个证明的时候，还没有学平面几何。所以，我第一次接触的“数学证明”，就是从这个题目开始。

从“数学就是算账”到“数学可以证明”，我见识了一片新的天空。

二、思想上的震撼——真正理解了“代数思想”

当时老师给我们讲的证明，就是欧几里得的证明，为便于分析，抄录如下：

现在冷静地分析一下，我对数学的看法，从突破“算术”观念到建立“代数”观念，就是在这么短的时间内完成的。在心理上接受“用字母表示数，并且让字母参与实数的四则运算”，得益于我的初中老师选用了欧几里得的证明，我很感谢我的老师帮助我实现了这个巨大的跨越。

最后，什么叫“理解”，什么叫“懂了”，这样的教育哲学问题，在今天我可以谈一谈了。我的亲身经历是我感触最深的部分。“理解”不但是知道这个概念（是抽象的），还要在具体的问题中很自然地加以运用。只有在具体的情境中识别出概念的描述对象，并把对象抽象化、把概念具体化，才算在心理上接受了这个概念并建构到原有的认知结构中。这才是“理解”的层面。弗赖登塔尔认为“理解一个概念，必须能举出例子来”。

就“代数”一词言，“用字母表示数”，还不够，这是“死的”数学；“让字母参与实数的四则运算”，进步了，这是“活的”数学；在具体问题能进行模式识别，能进行运用，才是“我的”数学。

三、价值观上的震撼——证明之后深信不移

上面的分析，记录的是现在的认识。在当时我可没有这么清醒。当时稀里糊涂，只能算是认可了这个证明。

这个价值观对我的影响可谓巨大。后来在大学里学习公理化体系，我就学习得非常顺利。“凭空”给出几个公理，由此出发推出一系列的结论，构成一个庞大的体系，“这有意义吗？”有些人会纠结于这个问题，我却从来没有过。在不同的公理化体系中，会有不同的甚至是截然相反的结论。比如三角形的内角和，在欧氏几何中，等于180°；在黎曼几何中，大于180°；在罗氏几何中则是小于180°。对此，如果没有合适的价值观做支撑，人会在心理上产生巨大的困惑甚至恐惧。而我，就是因为这么简单的一句话“能证明的就是对的”，就很自然地接受这些不同的公理化体系。现在我的新作《膨胀宇宙的数学原理》就是一个以罗氏几何为数学基础的公理化体系，在那里揭示了宇宙的存在机制和演化规律。

四、哲学意义上的震撼——不同的世界观就有不同的方法论

我们必须从毕达哥拉斯学派的哲学基础谈起。他们有“万物皆数”的信仰（世界观），即认为“大自然的一切皆为整数之比”，他们的几何命题都是根据这一点来证明的（方法论）。其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，当时毕达哥拉斯学派提出的，叫“公度单位”。
      两条线段的公度单位，简单的说就是找一个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数。寻找公度量的方法相当直观，就是不断把较长的那个线段减去短的那个线段，直到两个线段一样长（这在数论里就是辗转相除法）。

古希腊人理所当然地相信不断地截取线段，总有一个时候会截到两个线段一样长。后来，Hippasus画了这么一张图，告诉大家了一个反例：这样的截取过程，有可能这个操作会无穷尽地进行下去。

剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去，而不会在有限步的时候停止。        

在上面的图中，如果小正方形的边长是1的话，大正方形的面积就是2。换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。

这个几何证明方法，与欧几里德的数论证明属于两个不同的范畴。欧几里德以数统形，实现了更高层面上的数学抽象，这是数学观的一次巨大进步，同时导致了方法论上的一次突破。

由此可见，随着方法的改进，我们越来越触及问题的核心。思想变得越来越深刻，形式却变得越来越简单。由此再来看下面的

结论如果一个整数不是一个完全平方数，则它的平方根是无理数。

参考文献

[1]（美）克莱因著，古今数学思想（M）。上海：上海教育出版社，2002.1

[2] 陈景润著，初等数论（M），北京：人民出版社，1976.5

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