华东师大博导汪晓勤教授：基于数学史的高中数学问题串初探

本文刊于中学数学教学参考2018.4（7-10）

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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汪晓勤简介

汪晓勤，博士，华东师范大学教师教育学院教授、博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究。先后在《自然辩证法通讯》、《自然辩证法研究》、《Science& Education》（欧洲）等刊物发表或合作发表论文三百余篇，著有《数学文化透视》（2013）、《HPM：数学史与数学教育》（2017）、《数学史与初中数学教学：理论、实践与案例》（2019，与栗小妮合作）等，译有《黎曼博士的零点》、《如何切蛋糕》、《魔法数学》等。先后主持国家自然科学基金天元青年基金项目、上海教育科学研究项目、国家社会科学基金教育学重大项目（子项目）等。2017年，课题“数学史融入初中数学教学的实践研究”荣获上海市基础教育教学成果一等奖。2018年，创建华东师范大学HPM工作室，开始致力于HPM研究、实践、传播与中小学数学名师的培养。

基于数学史的高中数学问题串初探*

马艳荣，汪晓勤

（华东师范大学教师教育学院, 上海 200062）

摘  要：本文就“均值不等式”、“曲线与方程”、“两角和的正弦公式”三个主题，利用有关历史材料，各设计了一个问题串，并从中归纳出基于数学史的问题串的特点，为HPM视角下的高中数学教学提供参考。

关键词：数学史；问题串；轨迹；均值不等式；和角公式

1 引言

实践表明，将数学史融入数学教学，离不开基于数学史料的数学问题提出。由于数学教师所掌握的历史材料十分有限，问题提出的策略较为单一，因此，在已有的HPM课例中，相关数学问题并不丰富，问题的质量也有待于改善；这些问题往往只出现在引入或探究环节，之后便悄然谢幕了，毫无系统可言，数学史的教育价值难以得到最大程度的发挥。数学问题串的运用是改变这种状况的途径之一。

所谓“基于数学史的数学问题串”（简称HPM问题串），是指以相关数学史料为主线，紧扣数学教学目标，运用一定策略提出的一系列具有内在联系、构成一个整体的数学问题。在课堂上，HPM问题串为学生提供了“再创造”的机会，有助于他们在探究中经历知识的发生发展过程，形成较为完整的知识体系，获得数学活动的经验，体验“探究之乐”，感悟数学活动的本质。

   另一方面，教育部《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用”，并提出“在数学试题中增加数学文化的内容”，因而基于数学史的高考试题日益受到人们的关注，但对近年来的高考试题的分析发现，这些试题所涉及的历史材料较为有限，问题提出的策略十分单一^[1]。鉴于此，本文拟对基于数学史

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*上海市教育科学研究重大项目“中小学数学教科书的有效设计”子课题“中小学数学教科书中数学文化素材的案例设计”(项目号：D1508) 系列论文之一。本文将发表于《中学数学教学参考》（高中版）。

的问题串设计作一初步探讨。

2 基于数学史料的高中数学问题串

2.1 轨迹问题串

  古希腊数学家研究过大量的轨迹问题。古希腊数学家将轨迹分成平面轨迹（直线和圆）、立体轨迹（即圆锥曲线）和线轨迹（直线、圆、圆锥曲线以外的曲线）三类。阿波罗尼奥斯（Apollonius, 公元前3世纪）在《平面轨迹》中研究了大量的平面轨迹，如“与两直线等距的点的轨迹”。帕普斯（Pappus, 公元3世纪末）在《数学汇编》中研究了一类新的轨迹问题^[2]：

·三线轨迹：到两条已知直线的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线；

·四线轨迹：到两条已知直线距离的乘积与到另两条已知直线距离的乘积之距离比等于常数（不等于1）的动点轨迹为圆锥曲线。

帕普斯还提出更一般的“n线轨迹”问题，当时，古希腊的几何方法就完全无能为力了。17世纪，法国数学家费马（P. de Fermat, 1601-1665）和笛卡儿（R. Descartes, 1596-1650）正是在研究古希腊“n线轨迹”问题时发明了解析几何。

为了让学生经历解析几何的产生过程，在“曲线与方程”一节课中，可以设计以下问题串：

问题1：在平面上，到一条定直线的距离相等的点的轨迹是什么？

问题2：平面上，与两条已知直线等距离的动点轨迹是什么？

考虑两条直线平行或相互垂直两种情形。

问题3：如图1，给定三条直线l₁、l₂和l₃，其中l₂ ^ l₁、l₃ ^ l₁、l₂和l₃之间的距离为2。若动点P到l₂和l₃的距离乘积与到l₁的距离的平方相等，则点P在直线l₂和l₃之间的轨迹是什么？

教学实践中，上述问题串中的部分问题已为石和飞老师所采用^[3]。将《几何原本》命题I.31（过已知直线外一点，作一直线与已知直线平行）改编为“一线轨迹”问题，依次增加已知直线的数目，相继得到古希腊的二线、三线和四线轨迹问题；在三线和四线的情形中，又根据两种不同的比值分别提出问题，各问题构成了一个完整的问题串。

2.2 均值不等式问题串

《几何原本》第6卷命题13给出了求作两条已知线段的比例中项的方法^[4]：如图5，设AC、CB是两条已知线段，它们在同一条直线上，在AB上作半圆ADB，在点C处作AB的垂线CD，交半圆周于D，则CD就是所求的几何中项。

根据上述命题，我们可以设计以下均值不等式问题串：

问题1：图5中，OD是半圆ADB的半径，即AC和CB的算术中项。试比较算术中项和几何中项的大小。当AC = CB时，两者有怎样的关系？

问题6：根据图6，你能用代数方法证明平方平均数和算术平均数之间的大小关系吗？两者何时相等？

教学实践中，上述问题串中的大部分问题已为张小明老师所采用^[5]。6个问题均以《几何原本》第6卷命题13为出发点。该命题证明了图6中的半弦CD为AC和CB的几何中项。因CE^ OD，根据射影定理，故有

问题1和2的目标是建立算术平均数和几何平均数之间的大小关系，问题3和4的目标是建立调和平均数和几何平均数之间的大小关系，问题5和6的目标是建立算术平均数和平方平均数之间的大小关系。在图5和图6中，利用直角三角形斜边大于直角边的事实，可以解决问题1、3和5；根据勾股定理建立有关代数恒等式，即可解决问题2、4和6。问题1-6建立了两个正数的四种平均数之间的不等式链，构成了一个完整的问题串。

利用图12即可。

问题6：问题4和5所得到的四个公式对于任意的a和b是否都成立？

可利用诱导公式来解决。

上述问题串中，问题1让学生回顾初中学过的特殊角30°和45°的正弦和余弦值，进而通过问题2让学生探究30°和45°的和角的正弦和余弦值。在任意斜三角形中，已知角角边，可以通过直角三角形来求其他边和角。但学生所用的方法可能并不理想。通过问题3，学生可以获得帕普斯模型。通过问题4，得到锐角情形下的和角公式。通过问题5，得到锐角情形下的差角公式。通过问题6，得到一般情形下的和角与差角正、余弦公式。各问题以帕普斯模型为核心，构成了一个完整的问题串。

3 三个问题串的特点

上述三个问题中，各个问题都是以古希腊数学史料为基础提出来的，且均围绕某一个主题展开，构成了一个不可分割的整体，因此，它们都属于“基于数学史的问题串”。

三个问题串分别具有以下特点。

·改编史料，一线贯穿。轨迹问题串中的所有六个问题都源于历史问题，但对原问题的条件进行了特殊化处理，即直线由任意位置关系改成两两垂直或平行，使其适合于课堂教学。各问题均通过对上一个问题进行条件操作而得到，如图13所示。问题串可以贯穿于“曲线与方程”整节课的始终。

·以史为基，多题同源。均值不等式问题串中的所有六个问题都不属于历史问题，但它们都是根据同一则史料——《几何原本》命题VI.13提出来的，各问题之间并没有显著的递进关系，如图14所示。该问题串适用于“均值不等式”一课的新课探究环节。

·重构历史，层层递进。和角公式问题串中的六个问题大多并不属于历史问题，但它们都是为了发现和运用帕普斯模型而设计，整个问题串的探究过程即是对和角公式历史的重构，除问题3外，各问题均通过对上一问题进行条件操作^[7]而得到，如图15所示。该问题串适用于“两角和与差的正弦公式”一课的新课探究环节。

4 结语

“基于数学史的问题串”是HPM视角下的数学教学的需要，问题串的使用将更完整地再现概念、公式、定理和思想的发生和发展历史，使数学史的教育价值得以最大化，因而使数学课堂变得流畅而精彩。在已有的HPM课例中，我们很少看到完整的问题串，可见，基于数学史的问题串设计并非易事。对于由历史问题所构成的问题串，教师需要了解有关主题的宏观历史，掌握较为丰富的数学史料，并根据教学目标对其进行裁剪和加工；对于以同一史料为出发点的问题串，教师需要从浩如烟海的数学史文献中选择恰当的史料；对于重构历史的问题串，教师不仅需要了解历史，而且还需要兼顾有关主题的历史顺序、逻辑顺序和学生心理发生顺序。

因此，为了设计一个基于历史的数学问题串，中学一线教师需要与大学研究人员组成一个HPM学习共同体，大学研究人员可以对有关主题的历史进行深入研究，为中学数学教师提供合适的历史素材；共同体经过交流和研讨，设计出问题串并付诸课堂实践，最终根据课堂观察、学生反馈和同行评议，对问题串进行必要的修正。我们有理由相信，基于数学史的问题串的广泛使用必将使HPM课例研究的水平迈上一个新台阶。

参考文献

[1] 陈莎莎, 汪晓勤. 基于数学史的高考试题分析. 教育研究与评论(中学教育教学), 2017, (5): 26-33.

[2] 汪晓勤,柳笛. 解析几何的产生(一):古希腊的三线和四线轨迹问题. 中学数学教学参考(高中),2007, (9): 58-59.

[3] 石和飞.“曲线与方程”:用古希腊轨迹问题串联[J].教育研究与评论.中学教育教学版, 2016(3): 52-56.

[4] Heath, T. L. The Thirteen Books of Euclid’s Elements (Vol. II). Cambridge: TheUniversity Press, 1908. 216.

[5] 张小明. 均值不等式的HPM学习单设计[J]. 中学数学教学参考, 2012(10): 68-70.

[6] 汪晓勤.HPM: 数学史与数学教育. 北京:科学出版社, 2017. 190-191.

[7] Silver, E. A. et al. Posing mathematicalproblems: an exploratory study [J]. Journal for Research in MathematicsEducation, 1996, 27(3): 293-309.

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