江苏名师孙四周：不添辅助线证明Steiner-Lehmer定理并将其推广

            本文原载核心期刊《数学通报》2015.2

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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不添辅助线证明Steiner-Lehmer定理并将其推广

孙四周

一、Steiner-Lehmer定理的源流及新证

Steiner-Lehmer定理即如下的定理1：

定理1：如果一个三角形的两条内角平分线相等，则该三角形是等腰三角形。

这虽然是个初等几何中的定理，其名气却非常响亮。1840年C.L.LahmusC.F.Sturm(1803-1855)的信中，向他请教这一命题的证明。后者也没能给出证明，就在数学界广泛征解。当时得到了几种证法，但都是间接证明，也都比较繁琐。此后100多年来，寻找其简洁的直接证明一直是引人入胜的问题。1961年，《科学美国人》再次面向全世界征集证明，波澜又起，至今未消。

现今所得到的诸多直接证明中，都需要添加多条辅助线。德国数学家L.O.Herse和L.O.Konigsberg的一个直接证明，只添加了3条辅助线，就被认为是相当简单的证明了。日本的秋山武太郎在《平面、立体几何》中，甚至发出这样的赞叹：“确实是巧妙的直接证明，今后恐怕不会有更高明的证法了”。

辅助线过多，不光导致证明过程比较繁琐，更严重的问题是它掩盖了问题的本质，无法进行推广与拓展。所以，尽管历经100多年，长期备受关注，但是关于这个定理的推广还有没见到。与其它著名定理拥有众多的推广和延伸相比，这个定理触角太少，显得相当单薄。

本文将在不添加任何辅助线的情况下，用中国古人所擅长的“割补求积法”给出一个简洁的证明。而且，此方法为该定理的推广提供了很大的便利。

由此看来，外角平分线的情形远不如内角平分线中的结论简洁而优美。

结束语本文所用的割补求积法，几乎是中国古代数学的标志性特色，刘徽、祖冲之、赵君卿都籍此而有大成。当代的吴文俊先生开创的机器证明，更是把此法应用得出神入化，使这一古老的方法放射出耀眼的新辉。其实，中国古代数学中还有很多的思想与方法，值得我们继承与发扬。然在西学东渐之后多所沉寂，想来令人痛心，恳切希望有兴趣的读者加以关注。

参考文献

[1]沈康身著，历史数学名题赏析[M]。上海：上海教育出版社，2010.5

说明本文是江苏省教育科研“十二五”规划重点课题“在新课程体系下促进学生对中国古代数学思想的继承与创新的研究”的成果。

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