华东师大博导汪晓勤教授：关于数学文化教育价值与运用现状的网上调查

本文原载《中学数学月刊》2013.3

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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汪晓勤简介

汪晓勤，博士，华东师范大学教师教育学院教授、博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究。先后在《自然辩证法通讯》、《自然辩证法研究》、《Science& Education》（欧洲）等刊物发表或合作发表论文三百余篇，著有《数学文化透视》（2013）、《HPM：数学史与数学教育》（2017）、《数学史与初中数学教学：理论、实践与案例》（2019，与栗小妮合作）等，译有《黎曼博士的零点》、《如何切蛋糕》、《魔法数学》等。先后主持国家自然科学基金天元青年基金项目、上海教育科学研究项目、国家社会科学基金教育学重大项目（子项目）等。2017年，课题“数学史融入初中数学教学的实践研究”荣获上海市基础教育教学成果一等奖。2018年，创建华东师范大学HPM工作室，开始致力于HPM研究、实践、传播与中小学数学名师的培养。

关于数学文化教育价值与运用现状的网上调查

赵东霞 汪晓勤

（华东师范大学数学系, 上海, 200241）

《普通高中数学课程标准》在“课程基本理念”中指出：“数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对数学文化的学习要求。”^[1]从中我们大致可以将数学文化的内涵概括为：数学的历史、数学的思想、数学的精神、数学与人类其他知识领域之间的关联。

近年来，数学文化日益受到国内数学教育工作者的重视，高校数学文化选修课方兴未艾，中学数学文化校本课程悄然兴起，数学文化融入数学教学业已成为一个重要而富有生命力的学术研究领域。那么，在中学数学教师眼里，数学文化究竟有哪些教育价值？数学文化在中学数学课堂中的运用现状如何？中学数学教师运用数学文化的困难是什么？在高中数学新课程实施十年、课程标准即将修订之际，对上述问题进行研究，无疑是有现实意义的。

为了回答上述研究问题，我们在上海市十二五市级共享课程“数学史与数学文化”的在线BBS讨论区发起了主题为数学文化教育价值的讨论，得到了教师的积极响应。从10月26日起截止到11月6日，共产生778个帖子。

1 教师眼中数学文化的教育价值

经过对在线教师所发帖子的逐条整理分析，我们得到关于数学文化教育价值的344个有效观点，涉及对学生和教师自身两方面的影响，涵盖数学文化的德育功能、理性精神、学习兴趣、数学知识和能力培养方面。

在所有观点中，所占比例最高的是“激发学生兴趣，形成积极的数学情感态度”。在教师看来，相当多的学生对数学缺乏兴趣，普通中学的情况更是不容乐观。一位教师写道：

我是普通完中的高中老师，最切身的体会就是：老师教得非常累，学生学得非常累，简单的知识教了就忘，公式背了就忘，抄作业现象很普遍，学生的厌学情绪很浓，没有丝毫学习兴趣，还有什么情感、态度、价值观？

数学文化有着丰富多彩的内涵，生动有趣的故事、穿越时空的智慧、贴近生活的问题、赏心悦目的艺术等等，都可以充分调动学生的积极性，使他们形成良好的数学情感态度。在讨论中，一位教师写道：

兴趣是最好的老师，好奇心是研究的源泉。数学教学就是要培养学生的好奇心和兴趣，有了兴趣和好奇心，学生才能更加主动地学习数学。但是，我们在数学教学中往往把“火热”的数学教成“冰冷的美丽”的“骨干美人”，数学的枯燥无味埋没了多少学习数学的热情，让多少学生望而却步！这不得不说是我们数学教学的悲哀。如果我们数学教师能更好地了解数学史，就能深度理解数学的教学内容，从而做好数学教学演绎，把数学课上成让人回味无穷的艺术性和科学性并存的好课！

居于第二位的是“加强爱国主义教育，增强民族自豪感，培养社会责任感”。数学文化带有强烈的时代和民族特色。将数学文化应用于日常教学，向学生介绍中国古代具有世界意义的数学成就（如《周髀算经》中的勾股定理、刘徽的割圆术、祖冲之的圆周率等），让他们了解祖先的伟大智慧和创造力，可以增强他们的民族自豪感，激发他们的爱国热情。当然，笔者之一发帖提出了“爱国爱错”现象：勾股定理常常在课堂上被错误地说成是“中国人最早发现的”，但实际上更早的古巴比伦人已熟练运用过该定理。对此，一些老师认为自己确实对历史知识不甚了了，今后应多多学习；但也有部分教师认为：谁最早发现并不重要，重要的是我们的祖先确实做出过独立的发现。

居于第三位的教育功能是“汲取榜样的力量，锤炼坚强的意志，养成良好的心理品质”。数学史上，很多数学家都是逆境成才、永不言弃的典范；很多数学家都是勤学不怠、百折不挠的楷模；很多数学成都是历经挫折、失败甚至付出生命代价后取得的。一位教师写道：

泰勒斯因天文观测而掉入阴沟，希帕索斯因发现无理数而葬身大海，阿那克萨格拉身陷囹圄而探索不止，阿基米德因沉迷数学而被罗马士兵杀害，希帕蒂亚因追求真理而死于基督徒之手，索菲·热尔曼在墨水结冰的冬夜仍勤奋学习，斯坦纳家境贫寒而自强不息……这些优秀历史人物的事迹可用来激励学生努力学习、坚忍不拔。

位居第四的观点是“体会数学与现实生活之间的普遍联系，经历良好的数学体验，树立正确的数学观”。相当多的学生持有十分消极的数学观，一位教师引用文献中的说法^[2]：

什么是数学？对于这个问题，有些学生的回答很有意思：“数学是一些居心叵测的成年人为青年学生挖的陷阱”；“数学问题是一些仅仅出现在课本和试卷上的、让某些老师看着学生崴脚而感到窃喜的东西。”听到学生这样的回答，开始还觉得挺新鲜，可是仔细一想，就感到一阵心酸。我们这些用尽心血努力教学的教师在学生心目中无非就是一些布雷高手，而数学成为教师惩治学生的工具，与学生的个人发展并无太大关系，这样的结果无疑是数学教学的一种悲哀。

因此，有教师指出，课堂上为学生提供数学与现实生活密切联系的例子，让学生体会数学的价值，从中获得良好的数学体验，从而形成正确的数学观。

教师眼中数学文化的其他教育价值有：拓宽国际视野，培养包容并蓄的民族文化观；提高美学修养，欣赏数学美；培养理性的科学态度和严谨的思维方式；树立创新意识，发展探索能力；学习解决问题的思想和方法；理清知识结构，理解知识本质。

图1给出了各种观点的分布情况。

从图1可见，在中学数学教师眼中，数学文化的教育价值主要体现在三维教学目标中的“情感态度价值观”上，数学文化很少能与“知识与技能”、“过程和方法”建立关联。

此外，少数教师在讨论中还提到数学文化对于教师自身专业发展的作用，认为数学文化知识的学习有助于提高教师数学素养，丰富自己的知识储备；同时，历史上曾经困扰过古人的问题，根据历史相似性原理，也很可能是今日学生学习上的困惑点，所以加强数学文化的学习，可以帮助教师更好地把握教学重、难点，从而选择恰当的教学方法与策略。

2 课堂上的数学文化例子

在线讨论中，许多教师分享了自己在课堂上运用过的具体的数学文化例子。使用频率最高的例子是勾股定理，其次是圆周率，接下来依次为“无理数的由来”、“黄金分割”和“国际象棋棋盘问题”等。笔者对讨论中出现三次以上的数学文化例子进行了统计，详见图2。

此外，还有一些数学文化例子也为个别教师所用，如：

（1）数学史上的名人轶事，如希帕索斯与无理数、纳皮尔与对数、高斯与等差数列求和公式、韦达与他的定理、刘徽与极限概念，杨辉与多项式乘法、加菲尔德与勾股定理、陈景润与哥德巴赫猜想等。

（2）历史上的数学名题或著名公式，如芝诺悖论（阿喀琉斯追龟问题）、丢番图墓志铭、泰勒斯测量金字塔高度、鸡兔同笼问题、理发师悖论、欧拉公式、赌金分配问题（“点数”问题）、格尼斯堡七桥问题等。

（3）生活中的数学问题，如地铁发车时间安排与最小公倍数、天平平衡与等式的性质、遮阳棚的设计与三角形稳定性和铺地砖与平面镶嵌问题、风车、陀螺与旋转、电影院座位与坐标、体操运动员花样动作平衡点与向量、点燃鞭炮与数学归纳法、上海市出租车计价问题与分段函数、经贸大厦与东方明珠的距离与解斜三角形、牙膏口径与圆柱体积、双曲线与导航技术、引体向上与向量运算等。

（4）趣味数学，如“抢31”问题、“24点”游戏、“蜗牛爬井”问题等。

（5）动物生活中的数学原理，如蜂房与平面镶嵌问题、蜘蛛网与图形对称问题、猫的睡姿与最小表面积问题等。

（6）数学概念的起源与发展，如函数概念的起源、负数概念的历史等等，帮同学理清概念的来龙去脉，更好地理解知识内容。

（7）文学作品中的数学思想，如惠施命题“一尺之棰，日取其半，万世不竭”蕴含了无穷思想，李白名句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”形象地描写出极限的意境，杜甫名句“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”展示了优美的对称性；陈子昂名篇“前不见古人，后不见来者；念天地之悠悠，独怆然而涕下”记录了作者对时间和空间的感知；华罗庚诗词阐明数形结合思想的重要性；王蒙利用黄金分割来阐述人的能力与他所得回报之间的理想关系，等等。

（8）建筑中的数学问题，如黄金分割在建筑中的应用，胡夫金字塔中所蕴含的数学。

（9）天文学、物理学上的数学，如天王星的发现、做功与数量积。

（10）音乐中的数学问题，如旋律的节奏与数学的周期。

（11）绘画技巧中的数学原理。

上述统计表明，大部分教师所了解的数学文化例子都很少，只有极少数教师知道较多的例子。从数学史料、文化现象、实际应用到教学设计、实证研究，关于勾股定理与圆周率这两个案例的文献很多，网上资源铺天盖地，且两者也是中国古代典型的数学成就，因而成为教师运用最多的数学文化例子。

教师主要采用以下几种方式来运用数学文化：

（1）在序言课中介绍数学史；

（2）用故事引入新课；

（3）将数学史用作课外阅读材料；

（4）开设数学史讲座；

（5）开展数学知识小竞赛；

（6）开设以数学文化为主题的拓展课；

（7）借助现代技术来呈现数学文化。

其中，教师采用得最多的是用故事引入新课。

3 教师运用数学文化的困难

尽管多数教师已经认识到数学文化的某些教育价值，但在实际教学中，运用数学文化存在很多困难。

3.1 课上无时间

在线讨论中，教师普遍反映没有充足的时间讲授数学文化。

T1：说说容易，其实做起来就不是那回事情了。你想，现在各校都在赶进度，赶进度的后果就是砍掉了数学史在课堂中的教学。

T2：我经常纠结于课时不足，现有的课时数仅够课本内容的讲解，若要拓展提高，时间就紧巴巴。课本以及所用的导学都有一些数学史知识，如雪花曲线，课本上的阅读材料介绍得很详细，苦于没有时间利用这一内容。

3.2 手中无资料

巧妇难为无米之炊。几乎所有的在线教师都感觉到手头缺乏适合于课堂教学的数学文化资料，他们一致建议，高校教师能够编写有关参考书。

T3：我浏览过很多有关数学史和数学文化的书，很少有针对中学数学教学来写的，但这往往是中学数学老师迫切需要的。所以很多老师在做教学设计时，由于时间、精力等限制，无法查阅大量的文献或资料。而我觉得，在数学课尤其是一些重要的概念课（比如函数的概念，曲线与方程、数学归纳法等）中，渗透数学史与数学文化是最适合不过的了。很希望能有一本针对中学数学教学的数学史与数学文化的书，选择几个重要的概念，追本溯源，也可附上几篇精彩的教学设计，方便数学老师借鉴和参考。

    一些教师则强烈希望建立“数学典故资源库”。

3.3 考试无要求

无疑，升学率是评价学校和教师工作绩效的主要标准，在这种情况下，不少教师认为，只要考试无要求，数学文化就很难受到重视。

T4：在高考的压力下，讲数学史有点“奢侈”，不知道该怎么处理？

T5：要是哪次考试卷里包含数学史内容，数学史就会引起教师和社会的重视。

T6：有了数学文化，必然促进数学观的正确形成，可惜，目前的考试制度和形式让这些都成为浮云啊！

3.4 学生无基础  

部分教师认为，经过年复一年的各种考试，“会解题才是王道”的思想已经深植于学生内心，除了训练解题技巧方法以外的其他内容，学生参与度不高，高中尤为明显。

T7：数学文化的教学应该从小学开始，不然都到了高中，你想搞个情境引入什么的，学生早就没心情听了。他们都觉得是浪费时间，还不如做题有用。

T8：二期课改的教材中引进的数学史以及数学家的故事，的确比过去多了很多，但是在实际教学中，存在着两大问题：一方面是教学的老师可能忽略关于数学史的教学；另一方面是，在教学中，很多同学感觉你是在浪费时间，不如直接讲教学内容。我想，这是长期的应试教学带来的后果。

    一些教师担心，学生的基础本来就差，加入数学文化内容反而会增加学生的学习负担，最后本末倒置，该掌握的反而没掌握。

T8：有些学生连最基本的知识都弄不清楚，学数学史也是无用的。

T9：对有些学生来说，数学文化无形中会不会又加重了学习负担？的确，有些女生本来学数学就很辛苦，要不要教给学生[数学文化]，我觉得是要看对象的。

此外，教师对数学文化的理解还存在许多误区。如，不少教师误认为数学文化就是数学史，或者数学文化就是数学趣题或者名人故事。

4 结论与启示

通过对教师在线讨论的整理和分析，我们可以得到如下结论：

（1）中学数学教师眼中的数学文化教育价值较为片面，主要局限于情感态度价值观方面，特别是在激发兴趣和爱国主义教育方面，而对于数学文化在认知方面的价值不甚了了。他们的认识多源于网络文献。

（2）中学数学教师自身的数学文化知识比较欠缺，他们所知道的有关例子十分单一，且绝大多数来自教材；他们因为所阅读的相关书籍很少而过于依赖网上资源；他们深感缺乏数学文化资料，期待实用的数学文化参考读本的出版。

（3）中学数学教师主要采用附加式来运用数学文化，因而部分教师认为数学文化会过多占用教学时间、甚至增加学生学习负担。

（4）数学文化“高评价、低应用”的现状并未改变。升学压力大、教学进度快、教师自身文化素养低、数学文化资料严重缺乏、数学文化认识片面、学生基础薄弱、视野狭隘等原因造成了数学文化教育的巨大困难。

根据上述结论，我们获得如下启示。

（1）数学教学呼唤教育取向的数学文化研究。开发与中学教学内容相契合的数学文化案例，编著数学文化实用参考书，为中学数学教学提供有关文化素材，将是HPM研究的重要内容之一。

（2）中学数学教师数学文化在职培训势在必行。教师所反映的课上无时间、考试无要求、学生无基础等问题，都源于教师对于数学文化运用方式的无知。附加式地运用数学文化，为文化而文化，势必会加重课堂负担，挤占课堂时间，同时，也未能在数学文化与数学知识之间建立起内在的联系，难以促进学生对知识的理解，从而也就无法体现数学文化在认知上的价值和在应试上的优势。事实上，数学文化的运用除了附加式，还有复制式、顺应式和重构式等方式^[3]，高层次的运用方式，并不以教学时间为代价，也不与考试成绩相冲突，数学文化在其中将起到润物细无声的教育作用。教师培训应采用案例教学的方式。

（3）高校数学文化研究者与教研员、一线教师的合作不可或缺。只有通过这种合作，学术形态的数学史材料才能真正转化为教学材料，而融入数学文化的数学教学设计才能付诸实施，实施的效果才能得到检验，从而，成功的HPM案例的开发才变得可期可待，HPM研究也就能够越走越远。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准. 北京: 人民教育出版社, 2003

[2] 谭立新. 浅谈对数学文化的认识. 新课程（下）, 2007(9):48-49

[3] 汪晓勤.HPM的若干研究与展望. 中学数学月刊, 2012(2):1-5

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现