数学史应用于课堂案例：HPM视角下对数概念的教学

Original 李霞文卫星数学生态课堂 2022-07-17

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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HPM视角下对数概念的教学

上海市七宝中学李霞

引言

恩格斯将解析几何、微积分和对数思想称为17世纪三大重要数学成就。对数这一概念作为一大重要的数学成就在于其简化运算的功效，大大降低了大数据计算所耗费的人力、物力。沪教版教科书上也提到早期工程师利用由常用对数原理制造的计算尺来工作，侧面介绍了对数的重要性。教材通过“已知底数和幂求指数”引入对数的概念让师生措手不及。“指对互化”说起来简单，但学生往往分不清何时为指数何时为对数，毋庸说对数的运算性质。学生对“对数”概念模糊，主要在于指对互化时诸多纷杂的名称、符号来得突然，幂运算性质到对数运算中的迁移。这也说明在对数概念教学中介绍其发现、发展历史的必要性，这样能更清楚地呈现指对互化中各元素之间的对应关系，揭示对数概念产生的必然性和学生学习的必要性。以史为鉴，尝试将数学史融入数学教学(integrating thehistory of mathematics into teaching,以下简称IHT)也是现在很多一线教师感兴趣的课题^[1]。笔者梳理对数的历史，结合前人研究的结果^[2-3]，考虑到新疆班学生基础弱但多勤奋的特点，尝试进行HPM视角下对数概念的教学，拟解决以下三大问题：

①“对数”、“真数”名称、对数符号记法的起源；

② 对数式的含义是什么，对真数、底数、常用对数的规定从何而来；

③ 幂运算性质如何迁移到对数运算当中。

本节课拟使学生理解对数函数的含义、掌握指对互化的规律、能够运用对数的三大运算性质，知晓对数的发现发展历史，让学生在充满人文气息的课堂上既习得知识，又体会到数学的曲折发展，从而加深对数学的理解和认识。

1. 史料选取及其运用

苏格兰数学家纳皮尔（NapierJ.1550-1617）于1614年出版《奇妙的对数说明书》一书，意味着能够简化计算的“对数”这一重要数学工具的诞生。纳皮尔在书中前言中也提到他发明对数的动机：“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头疼、更阻碍计算者的了。这不仅浪费时间，而且容易出错^[4]。”在没有计算器的时代，天文学家们每时每刻都在跟天文数字打交道，计算出一个行星的位置往往要花上他们数月的时间。也因此，18世纪的法国著名数学家拉普拉斯也曾说：“由于省时省力，对数倍增了天文学家的寿命”。而对数的产生是数学家纳皮尔20年如一日计算研究的成果，并非只有纳皮尔意识到对数简化计算的功能，但的确仅有纳皮尔一人被称为“对数发明之父”。这也说明，一个人努力的结果不仅在于天赋，更多的是在于坚持。

《奇妙的对数说明书》出版后一年，正在从事繁重的天文计算的英国数学家布里格斯（H.Briggs,1561-1630）就被这本著作深深的吸引了.布里格斯在1615年夏天乘坐马车前往爱丁堡与纳皮尔会面。两位数学家彻夜长谈，在之后，纳皮尔和布里格斯规定1的对数为0，商定将以10为底的对数作为常用对数。1617年，布里格斯出版了前1000个正整数地14位常用对数表，7年后，又出版了1到20000以及从90000到100000的14位常用对数表。

那么“对数”是怎么来到中国的呢？据考证，西方算术是在明末清初时期传入中国的，康熙正是这时期的君王，康熙是一位数学爱好者，曾拜多位传教士为师学习数学，被后人称为“帝王数学家”。在他主编的《数理精蕴》中，我们可以发现“对数”一词的由来：以借数与真数对列成表，故名对数表。其法以加代乘，以减代除，以加倍代自乘，故折半即开方。以三因代再乘，故三归即开立方。推之至于诸乘方，莫不皆以假数相乘而得真数。盖为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也。从文中可见，中国古代数学家已经总结出对数简化运算的性质，言简意赅，发人深思。《数理精蕴》成书于1713-1722年间，是我国第一部按学科编排的数学巨著，较系统地向国人介绍了西方初等数学，也推进了中西数学的交流。

由对数的历史可见，对数的发明是天文学发展的需要，是在大数字繁杂计算下应运而生的工具，促进了社会、科学的发展和人类的进步，这体现了数学作为一门科学工具的重要意义。所以在课堂上，需要教师设置问题情境，启发学生利用同底数幂进行简化计算，设置认知冲突，体现对数概念产生的必要性和自然性。纳皮尔用20年的时间发明对数，体现了数学家的人文情怀，也激励学生坚持不懈实现自己的梦想。而中国古代数学家的研究更是提升了学生的民族自豪感，古人的智慧能够激励学生努力学习、勤于思考。

数学史在数学教学中的运用方式有附加式、复制式、顺应式和重构式四种类型^[5]。我们采用如下四种方式进行HPM视角下对数概念的教学：
(1) 重构式：在学生认知基础上，结合历史，重现对数的发现、发展；

(2) 复制式：呈现《数理精蕴》原文，介绍“对、真数”词源及运算性质；

(3)附加式：介绍纳皮尔发明对数、常用对数的规定和康熙热爱数学的故事；
(4) 顺应式：改编印度棋盘问题，创设问题情境，为对数概念的产生做铺垫。

对数概念的教学进行到尾声，教师鼓励学生总结该堂课上习得的知识，包括有“一个概念、两种形式、三种运算、四大性质”。这节课上潜移默化地向学生渗透了转化、从特殊到一般的数学思想。数学课上的文化元素不仅增加了人文气息，升华了学生的数学情感，而且是促使学生自然地产生数学概念、形成认知的必要元素。

2.教学反馈

根据教学目标和教学重点，以及融入数学史拟解决的问题，课后对学生进行问卷测试，问卷内容包括数学类、人文类题目各2道，被测者为被授课的40位学生，回收有效问卷37份。对每位学生进行编码，如“abcd”,“ab”表示学号，“c=1”代表汉族，“c=2”表示少数民族，“d=1”表示男生，“d=2”表示女生，“3611”表示学号36号汉族的男学生。以下是根据测试题目对学生解答进行的数据分析。

问题1：通过上午的数学课，提到“对数”，你能想到什么？

学生的回答涉及符号、名称、性质等，从以下13个方面进行分类可见：一半以上的学生提到“对数”会想到与对数有关的符号、名称、指对互化，65%以上的学生提到对数的性质和运算，有6位同学提到康熙皇帝，4位同学提到“对数”一词的古代名称为“借数”。由这些数据可知，学生了解对数概念中最基本的概念和性质。

问题3：你现在还记得的两节课中的数学文化元素有哪些？

37名学生中有10位提到康熙主编的《数理精蕴》中关于对数简化运算的说明，2位同学提到这位帝王数学家对数学的热爱，9位同学提到纳皮尔发明对数，绘制对数表。由于这个班的学生是第一次接触数学史融入数学教学，在填写问卷时，多位学生提到“什么是数学文化元素”，笔者为使数据结果更加客观未给予解释。这也侧面反映出学生数学文化知识的匮乏，同时问卷制定者也需要结合实际，以最有效的问题获得最真实数据。

问题4： 根据前面的观点在下列表格中勾出最符合你想法的选项：

前三个小问题与数学知识的理解和掌握相关，4.3问题的反向设置是为了避免部分学生不认真答题，后四个问题主要测试学生对IHT课程的接受程度。70%以上的同学表示能够接受对数概念及其运算性质，但仍有不足20%左右的学生存在困惑。56.7%的学生表示明白了指对关系，但是37.8%的学生在这方面还是存在问题。80%以上的学生通过这节课了解了对数名称、符号的由来。4.6中虽然未有同学表示对数学不感兴趣，但是总能够集中注意力听讲的学生仅有48.6%，超过80%的学生希望教师在课上多讲一些数学故事，这样能够吸引学生的注意力。90%以上的学生表示愿意多了解跟学习内容相关的数学史知识，其中67.6%的学生意愿较迫切。

利用spss对学生的答案进行编码：不同意(1)、一般(2)、同意(3)，将4.3的结果转换为相同变量，之后对数据进行效度和信度分析。效度分许所得KMO值为0.65,问卷测量到的结果能够反映所想要考察内容的程度。信度分析得到的α信度系数高于0.7，可靠性较高。

利用软件分析性别在学生理解对数概念和对IHT课程的接受程度上是否具有统计意义上的差异，结果显示男生在指对互化方面的表现比女生要好，但是在数学兴趣、注意力和数学史知识学习方面，女生的表现要优于男生。但是三者t值对应的sig(双侧)均大于0.05，说明虽然存在差异，但差异并不显著，不具有统计学意义。利用独立样本t检验调查汉族和少数民族学生在上述方面是否存在差异发现，汉族学生在数学兴趣、课堂注意力和数学史知识学习方面的表现要高于少数民族学生，由t值对应的Sig.(双侧)值可知，汉族学生在数学兴趣和课堂注意力上的表现要显著优于少数民族学生(如表4)。

由以上数据分析可知，虽然新疆班由多个民族的学生组成，但是民族差异性并不影响在疆班实施IHT教学。这样，不仅帮助学生加深理解数学知识，更加让学生体会数学的曲折发展，赋予数学以人文气息。少部分学生出现的困难，也为下一步的教学提供了参照和依据，例如指对互化中有极少个学生的写法出现错误，这也说明上课强调不到位，关于对数含义仍有12位学生未作答，这也说明了教学环节中对这部分处理地不妥。

1. 结语

在新疆班数学教学中融入数学史不仅是传播HPM思想的重要途径，而且为内地新疆班教学多样化提供可行之道。由数据分析可知，新疆班学生对数学学习的主动性不够大，数学、

学习的信念不够坚定。但是从数学史在本节课中的作用，我们有望尝试IHT教学来调动新疆班学生的积极性，培养学生的数学兴趣。

将对数发明、传入东方的历史片段进行重构融入课堂，学生经历了对数名称、符号的产生，并从中领会对数产生的意义，进而无缝衔接地引出对数运算性质。这是知识自然产生的过程，学生在享受数学文化熏陶的同时自然地将自己代入历史进程，知识的发生更加和谐。

在尝试运用简化运算规则计算1光年时，根据已知的铺垫，学生自然地想到化为幂的运算，从而引出了对数符号；在将“以加代乘、以减代除”化为对数运算式时，学生在教师的引导下成功探究出三大运算性质。在这节课上，学生从产生的认知冲突主动地去探究新知，解决问题，在探究中习得数学知识的乐趣远远高于背诵算式直接做习题。

纳皮尔潜心研究20年发明了对数教会学生为热爱而坚持，一位帝王数学家在日理万机中认真学习数学教会学生为热爱而努力，两位数学家彻夜长谈促进了对数的发展与进步教会了学生沟通交流。最重要的是，重走对数发明之路，学生感慨数学并不是书本上那么冷冰冰，数学也是逐步发展的，学生的数学信念在慢慢树立。

然而，这节课也存在着一些不足，例如“对数含义”未做足够强调，“对数写法”也需要再明确，教师最后总结中的思想内涵还不够升华，教学板书还不够成熟等等。这些仍需要磨练，但在HPM视角下教学的尝试会使这些磨练更加得有趣和丰富。

参考文献