设计多层面的课程，发展数学建模素养

                      本文原载《上海中学数学》2020.1-2

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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设计多层面的课程，发展数学建模素养

上海市新中高级中学  潘奋

摘要：如何培育高中生的建模素养是一个全新的课题，相关研究并不多. 上海市新中高级中学经过三年的实践与尝试，从三个层面设计了数学建模课程，提高了建模课程的实效性，发展与提升了学生的数学建模素养.

关键词：核心素养；数学建模；课程设计

为了贯彻落实“立德树人”的根本任务，培育高中学生以创新能力、实践能力和应用能力为重要内涵的核心素养，上海市新中高级中学在市级课题“高中数学核心素养培养策略与评价研究——以数学建模为例”的引领下，结合理论和实践，高效科学地推进数学建模创新项目的开展，从三个层面设计建模课程，提高建模课程的实效性，发展与提升了学生的数学建模素养.

一、构建三个层面的数学建模课程

第一层面，全体学生、全体数学教师参与的必修课程的教学，称为“教学课例”. 第二层面，全体学生、全体教师组织实施的选择性必修课程教学，称为“活动案例”. 第三层面，以数学天赋高、数学学习兴趣浓厚的部分学生为对象，由校内的骨干教师与外聘专家组成的研究型导师团队实施的选修课程教学，称为“创新范例”.

（一）第一层面：教学课例

区别于传统的以知识的发生、发展为线索开展的数学教学，以实际情景为背景抽象出数学问题，建立模型求解，以实际的事例介绍新的数学概念或巩固学生对概念的理解，即借助数学建模理解和巩固概念，这种课常用于必修课程的概念新授课或复习课中，如函数、三角、线性规划、概率与统计等.

如“探索建立函数模型，提升数学建模素养”这节课，就是典型的概念建模的教学课. 本节课以企业员工的绩效工资问题为背景展开，学生综合应用不等式与函数知识，设计不同的绩效工资函数模型，在解决实际问题的同时，达到复习函数不等式单元的目的.

在“统计”这一章的教学中，将本章的教学设计成统计活动的形式，让学生经历数据处理的全过程，在此过程中学习数据分析的方法，理解数据处理的思路，并学会应用所学知识和方法解决实际问题.

事实上，第一层面提出的实际问题其实已经经过了一次抽象，为了达到教学目的，教师给出了具体的限制条件和假设，学生可思考的范围比较小，更偏重于求解模型.

（二）第二层面：活动案例

第二层面的课程设计更侧重于知识的应用，建模活动的过程更侧重于建立模型. 以数学建模的视角审视中学数学的应用问题，从实际问题入手，引导学生经历分析问题、基本假设、模型建立、模型求解、模型检验、模型推广的全过程，特别是分析问题、基本假设、模型建立的过程.  

第二层面中的部分课程设计基于以下建模活动案例：最大容积问题、椅子放稳问题、测建筑物高度问题、制作弯管问题、污水处理问题、兔子繁殖问题、黑白照片的图像处理问题、利用双曲线进行导航问题、椭圆的折纸问题、轮船进出港的时间窗口问题、自动灌溉装置出水方案问题. 这些案例部分来自于教材的“探究与实践”，部分来自于一些经典的数学建模问题，也有部分来自对中学常见应用问题的改编.

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笔者以“污水处理问题”这一案例的课程设计为例，进行说明. 如表1所示，在案例设计时，教师首先将该问题还原到实际背景中，并请学生设计污水处理的方案. 学生将已经还原了的实际问题抽象成数学问题，在基本假设的探究过程中，找准角度，建立有效的数学模型，并应用所学知识求解模型. 在模型推广中，学生思考在工程和社会生活中还有哪些可以迁移的地方，体会数学中模型化解决问题的价值.

在这一层面的课程设计中，从数学建模的视角审视中学数学的应用问题，让学生在数学建模活动中了解数学模型，特别是了解模型的形成过程，感悟数学的应用价值，增加数学学习的兴趣. 这一层面课程设计的目标偏重于建立模型.

（三）第三层面：创新范例

这一层面的课程设计，强调以项目创作的形式开展学习，即让学生创作作品，如建立模型、设计方案、制作产品等，在提升学生实践能力，增强学生创新意识和科学精神的同时，增强了学生的社会责任感，发展了学生的核心素养.

这一层面的建模活动设计分为两个阶段：第一阶段是以学生已经完成的项目为问题的切入口，开展数学建模活动；第二阶段是让学生寻找身边的问题，开展项目的创作.

第三层面的课程设计基于以下建模活动案例：以回音壁结构研究的城市高架降噪措施、能发电的减速带、电热水器用电优化模型研究、海绵城市立体改良问题、规划泉州旅游线路问题、长征医院体检排队优化问题、共享单车调度问题、泉州生态水域微生物繁殖问题、高层建筑桥箱电梯调度运行方案设计、手足口病传染模型. 这些建模活动案例全部来自于学生自身的数学建模项目.

学生的“以回音壁结构研究的城市高架降噪措施”项目是以北京胡同和北京天坛回音壁为例，对其声学结构进行建模研究的项目，学生得出圆柱面结构降噪效果优于直立结构降噪效果的结论. 以此为启发，初步建立一种能够缓建城市高架噪声污染的隔音板结构方案. 建立平面坐标系对双向二车道的普通城市高架结构进行模拟，通过多组实验数据的分析比较，得出声音的反射轨迹，并计算出适用于隔音板的图形参数，论证了改造城市高架隔音板结构的可行性. 然后，基于实际的高架道路数据以及相关的几何知识，以降噪效果、建造难度、制造费用为优化目标，建立隔音板降噪结构的优化模型，得出最合适的隔音板结构方案.（如图1所示）.

这些高质量的课题源于学生的学习与生活，适合学生目前的认知和发展水平，适合学生自身发展的目标，学生在实践中动手、动脑、合作，在实践中探索尝试、经受挫折、收获成功，一篇篇论文彰显出学生的成长、提升和完善. 第三层面课程设计的目标更倾向于发现和提出问题.

三个层面的建模课程设计合成一体，形成了合力，培育了学生用数学的眼光发现与提出问题、用数学的语言表达问题、用数学的方法构建模型解决问题的素养.

二、数学建模课程实施的成效

（一）促进学生学习方式的转变

小李是初中提前批录取的学生，可能因为不太适应高中阶段的生活，他的学习状况不尽如人意. 为了找出原因，改变他的学习现状，教师和家长均和他谈话，然而并没有明显的效果. 渐渐地，小李的笑容没有了，性格也变得沉闷. 在他情绪低落的时期，恰逢我校的建模班招新，小李报了名. 当老师拿到那份有着他名字的报名单时，犹豫了，纠结再三之后，决定给他一个机会试试，就这样小李走进了建模班的课堂. 那一天对他来说是个意义非凡的日子，谁都没想到这会是他学习生活的一个转折点. 在建模班的活动中，教师欣喜地发现一些改变正在小李身上悄悄地发生：在课上，他总能仔细地聆听同伴的建议并适时提出自己独特的见解，在课后他会为了验证一个不成熟的想法而翻阅了整套高中教材，在没有找到满意的答案之后，他更是自学了高等代数的相关内容，可以说，在建模课上出现了一个灵动的、自信的、充满生气的小李. 那一年他的课题在科创大赛中获得了二等奖，他的小组在上海市中学生数学建模活动中获得了二等奖. 走出了建模课堂后的小李也发生了很大的改变，他变得善于聆听、喜欢表达、喜欢探究，学习生活也更有了目标，各科成绩也开始逐渐提高，性格也渐渐变得开朗、乐观. 数学建模课程的实施为他打开了一扇大门，开启了他未来发展的无限可能.

那么，小李在建模活动中究竟经历了怎样的学习，使他发生了如此大的转变？“建模活动”中学生采取的是这样的学习方式：

1. 强调数学问题解决式学习，即体验式.

学生在求解模型过程中，亲身经历数学问题解决的全过程，在解决问题的过程中激发其内在情感体验，从而迅速而正确地理解相关知识及方法.

2. 强调课题研究式学习，即浸润式.

数学建模是在问题的引领下展开的，它是针对某一课题展开深度的研究，在课题研究的过程中习得知识、获得感悟、培育高阶思维的能力. 学生就像是一块干燥的“海绵”，浸泡在创设的情境中，在课题的研究过程中，不断吸取各方面的知识和能力，最终自由地徜徉在知识的海洋中，获得自主学习的能力.

3. 最后强调的是项目设计式学习，也就是创造式.

有了前两种学习方式为铺垫，学生最终可以从自身的经验、学习实际、社会和生活领域中自发地寻找问题背景，以创造性的思维建立数学模型，并最终应用数学方法解决某一方面的实际问题，从而提升实践能力，增强创新意识，所以建模活动采取了一种创造式的学习方式.

基于体验、浸润、创造的学习方式让学生的学习效率得到了提升，将学生有限的知识转化成为自身的思维方式，这种学习方式是知识结构与能力结构的架构过程，是集知识、情感、技能、思维、品质和学习策略六位一体的有效的学习方式.

（二）促进评价方式的转变

教学的评价是教学活动的重要组成部分，数学建模课程的评价方式实现了三个转变.

从量性评价转变为问题、项目等质性评价. 教师会针对学生研究的问题、项目的研究报告或小论文的价值或特点，给出定性的评价，这种评价没有好坏之分，只有有效与更有效之分，这对所有的学生都起到了很好的激励作用.

从教师评价转变为师生、生生之间的互评与自评，即从一元的评价走向多元主体的评价.

从结果性评价转变为学习全过程性评价，即教师不仅要关注学生在建模过程时的表现，也要关注学生在整个建模过程中的发展和变化.

（三）凸现了课程的育人价值

数学建模课程，贯彻落实了“立德树人”的根本任务，培养了高中学生的创新能力、实践能力和应用能力，是培养人才的有效举措.

在新时代教育改革背景下，数学建模活动构建了学生成长的新空间，搭建了课内与课外、数学与外部世界、理论与实践的桥梁，提升与发展学生的综合素养的同时，促进了学生全面而有个性的发展. 学生以建模活动为载体，走出传统课堂的束缚，在社会生活的大课堂中成长发展，将学科素养的培育真正落到实处.

（四）师生各自得到充分发展

通过多层面开设数学建模课程，更大程度上发挥了学生的学习主动性，学生通过行动研究，边研究边改进完善，如今已初现成效：我校全体学生的建模意识有明显提升，一批学生研究能力明显加强，在国内国外各类建模比赛中都取得不错的成绩. 不仅如此，教师也在建模课程中逐渐提升自己，中青年教师变得更成熟、骨干教师突破了发展的瓶颈，找到了更好的发展空间. 2019年，我校也成立了静安区高中数学建模实训基地，希望能以点带面，辐射区域教学.

三、数学建模课程实施中的困惑：

第一，理论研究的困惑. 如何培养高中生的数学建模素养是一个全新的课题，相关研究、特别是理论的研究并不多，在教师实践的同时，是否能和一些专家团队联动，加强理论的研究，从理论层面给予教师更高的指导，使教师的建模课程更合理.

第二，实践探索的困惑. 在实践过程中笔者发现，建模的六个过程中，学生求解模型的能力相对比较强，发现与提出问题、建立模型的能力相对比较薄弱，如何快速有效地提升这两个能力，对教师来说是一种挑战.

第三，建模素养的评价. 虽然建模素养的评价实现了三个转变，但是关于建模素养到底该怎么评，相关的研究并不多，只能摸着石头过河，这也是笔者与同事一直在努力追寻的答案.

数学建模的魅力在哪？有同学回答：“数学建模的魅力无穷. 它让看起来“冰冷”的数学与火热的生活紧密联系在一起，让我在学习教材现成的知识之外，靠自己的努力尝试解决生活中的真实问题，让我发现合作过程中迸发的集体智慧. ”学生的话是稚嫩的，但表达了心底最真实的感受. 用建模点亮孩子们的“人生”吧！

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(2017年版)[S]. 北京：人民教育出版社，2017.

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