陈杰：期末复习中的生态课堂 ——以向量数量积复习为例

                本文原载《中学数学教学参考》2020.5

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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陈杰，1982年生，就职于江苏省溧阳中学。常州市优秀教育工作者，溧阳市基本功大赛一等奖，溧阳市数学教研室学科中心组成员，长期从事实验班数学教学工作，坚持对学生创新思维，问题解决的策略的研究。

期末复习中的生态课堂

——以向量数量积复习为例

江苏省溧阳中学陈杰

摘  要：针对学生的难点进行有效突破，是提高期末复习课堂效率的重要任务．在复杂背景中求向量数量积如何确定基底，如何巧妙的运用中点这个联结纽带，构造特殊向量沟通相关向量是解题关键．通过问题链，师生互动培养学生的思维能力，构建生态课堂，提高学生的数学核心素养．

关键词：数量积 中点 构造向量 生态课堂

期末复习怎样才能提高课堂的效率？笔者在期末复习期间上了一次专题教研课：“期末复习中的生态课堂”．主题是在复杂背景下如何求数量积，在老师指导下学生积极参与，找出利用中点构造特殊向量沟通相关向量解决问题，达到提高课堂效益，发展学生的思维能力，培养理性精神之效，践行核心素养，构建生态课堂，供教研组探讨．

课前检测5个小题主要复习相关知识与相应的思想方法．

师：由例1的条件容易想到用坐标法，变式一则没有坐标系，但要表示圆周点的坐标很容易想到建系，因为三角函数就是利用单位圆定义的。（揭示例1与变式的本质就是三角函数定义。本例意在说明可以通过建系解决向量问题）

二、向量的数形结合问题

课前检测第3，4两个小题，主要考查学生数形转化能力．学生正确率很高，请学生说明基本思路，老师板书关键步骤．让学生做变式二：

四、教后体会

整个课堂结构紧凑，教学内容层层递进，思维量大．课前检测题的作用是复习知识点和相应的思想方法，为后续内容提供理论和技术支撑，后续知识在此基础上生成，因此，选择课前检测题要格外慎重。

课堂中有几个环节还有很大的改进的地方，课后学生访谈中也发现数学学习能力相对较弱的学生在几个环节也需要兼顾．

通过这两个变式训练，学生审题后简要的回答一下思路，老师再小结一下数量积问题中的一个重要思想：建系处理．这样课堂结构可以更加紧凑，知识体系也更完善，节奏也可以更加顺畅．总结一下哪种情况下建系，哪种情况选择基向量。

第二个环节：在变式二完成后，应该适当小结，对数形结合的问题进行一些特征分析，进行思路总结，这样学生遇到类似问题，方向可以更加清晰．

第三个环节：例2和拓展延伸的1整体速度偏快，中后段的学生在课后表示有点来不及思考．解题后对其内在联系分析总结不到位，如果把这类只知道向量的模，求向量的数量积的问题的方向再分析一下，有些可以尝试转化模的平方差，有些对夹角没有限制的填空题还可以尝试特殊三角形处理．那后面拓展延伸3就可以有更多同学能够独立解决．这样也可以更多的照顾中后段同学的实际情况，更加有利于他们的掌握．

第四个环节：应该通过对前面题目设置的优化，给拓展延伸3这个题目更多的时间和空间．首先要给学生更宽裕的思考时间，其次应该给学生更多的方法尝试，比如，对夹角没有要求，填空题能够把四边形画成特殊的四边形，甚至因为四边形的不稳定性，这个问题正好可以压缩成一条直线，那么所有向量都变成共线的向量，数量积就变得非常简单．最后还可以再拓展，可以尝试布置一个课后思考题为：

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