黄跃华：一堂独具特色的数学生态习题课----评陈杰老师课例“期末复习中的生态课堂”（本公众号22日推送）

              原文刊于《中学数学教学参考》2020.5

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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黄跃华，苏州大学数学教育硕士，中学高级教师，现就职于江苏省溧阳中学。江苏省优秀教育工作者，常州市教育管理拔尖人才，常州市学科带头人。从事实验班数学教学工作十多年来，一直致力于“生态课堂”教学实践研究，专注于学生思维品质的培养。

         一堂独具特色的数学生态习题课

 江苏省溧阳中学  黄跃华

1 关于生态课堂

在向量数量积教学之后我校安排一节习题课，又是学期快结束之际，有兼有复习功能。学生是我校创新班，基础较好，思维敏捷，敢于发言。根据学生实际情况，我们提出“生态课堂”，即“眼中有学生+高品位教学”^[1]。

所谓眼中有学生就是把学生当成活生生的人，而不是考试机器。教师根据学生实际情况选择例题、习题，课堂教学中留时间给学生思考、发言，能根据学生所思、所想灵活处理，不是照着教案讲，课堂教学重视对数学知识背后的经验的感悟，对学习过程的体验，重视对情感、态度等非认知素养的培养和开发，让学生体会数学的理性美、形式美和内在美，接受数学文化的滋润，使数学课是学生生命成长的精神家园。

所谓高品位的数学课就是既有知识获得、能力训练，又有思想（哲学数学、数学思想）和文化的课堂教学。基础知识、基本能力是课堂教学的显性目标，是课堂教学着力最多的地方；而以基础知识和基本技能为载体的数学育人（主要是培养学生的思维能力和理性精神）是隐性目标，它通过数学思想（哲学思想）、数学文化得以实现，虽然着墨不多但具有统摄作用。

陈杰老师这节习题课，在上课之前安排5个题目，让学生先做，并且批改。上课结合学生做的情况进行评讲，并在评讲过程中复习相关知识点和相应的思想方法，这种做法比上课开始就复习具体知识点的做法既节省时间，又指向明确，然后在此基础上进行变式、拓展引申，学生在解答后续问题时有似曾相识又若有似无的感觉，让学生处在愤悱之际，唯有深入思考才能创造条件转化为熟悉的情形，在这一过程中教师的参与和适时点拨，激发学生的热情，点燃智慧的火花，为课堂平添几分色彩。

2 选题尊重知识发展规律

一节数学习题课有相应的主题，对主题的表达是通过例题和习题来实现的。选题要选基础题，开始部分题目用于复习基本概念、基本方法；要选能力题，基础性题目之后的这些题目就是课堂上重点要讲的，用于提高思维能力和运算能力、巩固思想方法；要选拓展题，拓展题可以直接来源于能力题，也可以另外给出，用于部分学有余力的学生，以满足各层次学生的需求。

课前练习是基础，例题和变式及拓展在这之上发展而来。课前练习好比树的根，例题是主干，拓展是树杈，是树的最高峰。只有根深才能叶茂。本课的例题都是在相应的课前练习的基础上引申，而拓展又是在例题的基础上引申，环环相扣，层层递进，知识间联系紧密，思想上一脉相承，方法上各有不同，异彩纷呈，展示一幅勃勃生机的生态图景。

本课的特色是一个主题，两种方法，三个层次。一个主题----数量积问题，即选题围绕数量积问题展开。两种方法----建系或基向量，即解决向量数量积（其实对向量其他问题也一样）何时建系解题、何时选择基向量解题。当基向量垂直且单位相同时就是直角坐标系，可见建系是选是两个特殊的基底，当图形中有两条线垂直时可以想到建系，这是特殊问题特殊处理，当条件不具备建系时，就要选择恰当的两个向量作为基向量，这反映了特殊和一般的辩证关系，是这节课的重要思想。三个层次----课前检测、例题、拓展。各层次题目之间既相对独立又有紧密联系，形成相对完整的知识网络，各层次的学生学有所得。

课前检测1、2和例1及变式是一类容易建系的问题，而且融合目前所学过的三角知识，检测3、4聚焦向量表示的正方形、正三角形等特殊图形，这些基本图形是解题基础。

拓展题与前面习题之间的紧密联系是本课的亮点之一，比如例2的拓展2中怎么想到作OM⊥AB，虽然有学生说由垂径定理，实际上，例2第（2）题外心就隐含这种方法。例2拓展第（3）题学生在经过试做其他方法失败后，想到取对角线BD的中点M，联结DM,BM得到中线，从而构造向量的平方差来表示模，这又受到例2和拓展延伸的第1题的启发。在课堂上这样经过失败而到成功的例子弥足珍贵，尤其是学生有机会向全班同学表述这样思考问题的心路历程更加珍贵！珍贵正如陈老师说“你把我想说的都说出来了，不！你比说得好，因为你把走弯路的过程也讲出来，不仅说出大家的困惑，还带领同学们突围！”

取中点其实也是这节课陈老师最想向学生表达的重要方法，在多个题目的分析或总结中说明中点具有四两拨千斤的作用。

3 教学尊重学生认知规律

尊重学生认知规律要做到问题让学生想，疑难让学生议，结论让学生得。

所谓问题让学生想，就是教学中要把时间还给学生。老师在提出问题后要留时间给学生思考、解答，如果解答不顺，老师不要马上给出答案，而是让学生相互讨论，给各种想法的学生有发言机会，期间老师选择适当机会质疑、点拨、引导，这就是疑难让学生议，最终导致结论让学生得，这是水到渠成。

本课中陈老师对让学生想、议、得做得很到位。课前检测、例题、变式题都由学生先做，先请一个学生说出想法，当有困难时再让其他学生补充，直至完善；对大多数疑难之处，或实时点拨或组织学生全班讨论，待到问题解答明朗以后，陈老师画龙点睛总结是怎么想到的，遇到类似问题该怎么思考。

尊重学生的认知规律不是说课堂上老师给出题目就等学生给答案，如果学生做不出来再讲。而是老师深入学生之中观察学生的学习行为，了解学生想法、做法是否正确，如果错误原因在哪儿？可以及时给予点拨、纠正，对有独立想法的学生给予鼓励或指导，对少数没想法的学生要耐心引导，同时老师要了解学生的总体情况，便于掌控课堂教学节奏。陈老师这节课时间总体把握得当，开始部分正如陈老师在教后体会中提到的，如果能更紧凑一些，最后一题时间会更充裕，效果会更好.

大班教学学生总有不同层次，课堂发言往往是反应快的学生，也要尊重少数在某个问题中反映慢的学生，陈老师的处理方法是利用课堂巡视机会给予个别指导、讲解时观察他们反映以及课后再重点访问等学生帮助他们，难能可贵！

4 感想与建议

数学复习课的解题教学本质上是数学思维教学，数学思维往往受哲学（数学）思想指导，反映到解题中就是怎么想到的。本课中的几个难题最终都是通过找出相关线段中点得以解决。中点就是特殊点，说明“一般性寓于特殊性之中”，这就是哲学思想的指导作用。数学解题往往由条件到结论或寻找结论成立的充分条件，是教学中的一条明线，而哲学思想往往是暗线，“弃暗投明”需要教师点拨，比较好的时机是课堂小结。陈老师在教学中尽管多次提及中点的重要性，但未能上升的思想的高度是美中不足。

习题课往往是理性思维占据主导，课堂气氛略显沉闷，如果教师能“无中生有”，通过师生双边活动、对一些方法运用口诀给出记忆方法，既加深对所学内容的理解，又能活跃气氛，提高学生学习数学的积极性。比如，针对课前检测5的不同解法归纳为“先定义再建系，基向量来保底。”既朗朗上口又揭示了解数量积问题由易到难的解题方法。又如，课堂上学生的解法新颖别致，教师说“自古英雄出少年，创新班中人才济。”实时鼓励学生，虽然不是金句，但学生有荣誉感，心里暖暖的。这些便可称为数学文化。数学文化听起来高大上，其实，也都是师生在教学活动的一些花絮。

小结是一节课的点睛之作，如果能把一节课中的基础知识、基本技能和思想方法归纳出既有思想又有文化的小结，则是锦上添花。陈老师这节课由于留给学生较多，最后没有来得及小结。如果前面安排得当（就像陈老师教后体会中指出的），还可以省点时间用于小结。

留给学生时间多可能会影响教学容量，少了又不能起到应有的作用，这是一对矛盾。解决这个矛盾既需要老师扎实的专业功底，还要有高超的教学艺术。相信对“生态课堂”实践的不断深入，老师们的专业功底和教学艺术会不断提高！

参考文献

文卫星，让生态课成为常态课[J]，中学数学教学参考，2017.9（27-30）

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