高建国：​“曲线上一点处切线的斜率”教学探索

     本文原载《中学数学教学参考》2020.4

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

   文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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高建国：1977年生，江苏省泰兴市人，2000年毕业于苏州大学，在江苏省扬州大学附属中学工作至今。高级教师，扬州市特级教师，江苏省“333工程”第四批、第五批人才培养对象，现任学校教务处副主任。有二十多篇论文在《中学数学教学参考》、《数学通讯》、《中国数学教育》、《中小学数学（高中版）》等期刊发表，6篇论文被人大复印资料《高中数学教与学》收录或索引；目前主持省级重点自筹课题一项，江苏省“333工程”基金资助项目一项。

“曲线上一点处切线的斜率”教学探索^*

高建国（扬州大学附属中学  江苏225002）

摘要：“曲线上一点处的切线”所蕴含的“局部以直代曲”、“放大与细分”、“割线逼近切线”、“无穷小与极限”等数学思想方法是微积分学创立的理论基础。在教学过程中，要让学生用自己的思维方式完成方法的“再创造”。相关的数学观点、方法、思想等等共同构成了丰富的数学文化要素，在教学中需及时渗透，以帮助学生形成理性思维与科学精神。

关键词：切线；以直代曲；数学文化

导数是高中数学的重要组成部分之一，当前导数的教学普遍存在“重应用”、“轻概念”

的现象^［1］。现行教材上导数概念的形成基于两个背景，其一源自数学内部，即导数的几何意义，对应教材内容是《曲线上一点处的切线》；其二源自数学外部，即导数的物理背景，对应内容为《瞬时速度与瞬时加速度》。在两个背景的基础上，教材再进行抽象，最终完成导数概念的建构。

《曲线上一点处的切线》是导数概念的第一节课，它所蕴含的“局部以直代曲”、“放大与细分”、“割线逼近切线”、“无穷小与极限”等数学思想方法是微积分学创立的理论基础，对后续导数概念的理解和未来学习高等数学至关重要，如此重要的概念教学当然不能被“理所当然”地忽视。笔者认为，这节课教学需解决两个问题：一是要让学生经历切线概念的形成过程，逐步建构“导数”的思维；二是要通过学习让学生接受数学精神、数学思想和数学方法的熏陶，提高思维能力，锻炼思维品质，体现数学作为一种文化的育人价值。

1  教学案例呈现

1.1  真实情境，形成数学观念

情境：图1是我国在南海永兴岛修建的机场跑道，图2是我国首艘货运飞船天舟一号发射成功后与地球的相对位置示意图，图3是我国首颗探月卫星嫦娥一号与地球的相对位置示意图。观察三张图片，思考：严格意义上讲，机场跑道是直的吗？给出你的理由。

真实情境与任务的介入。情境素材汲取了我国新时代科技建设的新成就，拉近了数学与生活的距离，丰富了学习内涵。此设计有利于学生初步感受曲线“放大”后接近直线的现象，形成“以直代曲”的观念；有利于激发学生认知冲突、引发学习兴趣，活跃数学思维；有利于发挥出数学课程的育人价值，在引导学生关注数学与科技发展的联系、培养爱国主义情操等方面具有“润物无声”的作用。

1.2  概念探究，锻炼思维品质

探究1：曲线上某点处的变化趋势。

教师：如何刻画图4中各种曲线在P点处的变化趋势？

学生1：对于每一条曲线，可以在点P附近再取另一点Q，以PQ之间的平均变化率来刻画该曲线在点P处的变化趋势。

学生2：也可以将每条曲线在点P处的图像无限放大，点P处的局部图像无限接近一条直线，用直线的斜率来刻画曲线在点P处的变化趋势。

教师选择其中一条曲线，利用几何画板动态演示学生1与学生2的想法，我们发现当Q与P越靠近，曲线放大的倍数越大时，平均变化率与无限接近的直线斜率两者近乎相等。

设计说明：探究1按照数学的思维方式开展探究活动，以问题引导学生用数学的眼光观察现象，用恰当的数学语言描述现象，以信息技术辅助学生探索与猜测，让学生经历“观察—抽象—探索—猜测—论证”的科学思维过程，对于培养学生的科学理性思维方式，促进数学素养的形成和发展具有积极意义。

探究2：切线的概念

教师：怎样画出曲线上一点P处最逼近曲线的直线？

学生先操作，教师选择典型案例投影。

教师：哪位同学所作的直线最可能逼近已知曲线？

学生3：看不出来啊。

教师（追问）：有办法吗？

学生4：l₂应该更加靠近。

教师：能不能找到最接近的那条直线？

学生5：那就让另一个交点非常靠近点P。

教师利用动画展示动点Q越来越靠近点P，直至两点重合在一起的过程（如图6）。

和提出问题：为什么画出的逼近直线不一样？哪条直线更加精确？如何寻找最逼近的直线？在分析、解决问题的过程中，师生共同发现了割线逼近切线的方法，切线概念的得出水到渠成。动画演示则生动展现了切线是割线无限逼近的一个理想模型，学生从中体会到从“有限到无限”的哲学思辨过程，为学生自主形成概念奠定了厚实基础，在潜移默化中发展了学生的问题意识和创新意识。

教师：同学们，我们面对的困惑在切线概念发展的历史上也曾出现。  

教师介绍切线概念的演变情况：从欧几里得《几何原本》中所讲的圆的切线与圆只有一个公共点，到阿波罗尼奥斯所定义的与圆锥曲线有一个公共点且全在圆锥曲线之外的直线，再到1639年法国数学家笛沙格，在著作中把切线明确地看作割线的极限，这种定义方法为微积分的创立做了具体的准备。

设计说明：富有吸引力的素材是推动数学思维活动顺利开展的关键。此处以三次函数y=x³的切线为研究视角，便于学生与已有二次曲线的切线经验做对比，从而有效引发了学生的认知冲突，在激烈的思维碰撞中学生需主动对已有认知结构进行反思与重新建构，促进概念的同化与深度理解。切线概念发展的数学史知识的介绍则有助于学生发现数学概念是不断继承、发展和完善的，从而激发学生的求知欲与创造欲。

1.4 概念强化，突出思想方法

探究3：曲线上点P处切线斜率的求法。

    教师：前面我们从形的角度探讨了曲线的切线，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，要想进一步细致刻画切线，我们还需要从代数角度来研究切线，如何求出切线的斜率呢？

接下来，师生共同总结出曲线在某点处切线斜率的求法。

设计说明：数学思想方法是数学学习的核心价值，是解决问题的行为指南。此处以探求曲线在某点出切线斜率的解题过程为契机，适时渗透了数形结合、特殊与一般、极限等数学思想方法，数形结合的思想为切线“量化”提供了思路，为切线的数学化奠定了形式基础；特殊与一般化的思想帮助学生及时跃出了“形式化的海洋”，从特殊的、简单的、熟悉的曲线出发，有效地实现了切线传统定义与现代定义的完美衔接，点燃了解决一般问题的思维火花；接下来的极限思想，是数学量变到质变的飞跃，学生不容易想到，通过“算两次”的方法学生看到了极限运算的合理性，也符合中学阶段对极限不作过高要求的教学现实需要。

1.5 概念应用，掌握数学技能

教师展示和点评学生的练习。

设计说明：依据认知心理学理论，基本技能的获得需要三个阶段：认知阶段、联系阶段、自动化阶段。求切线方程是本节课的一个基本技能，该技能获得的第一阶段已在斜率求法探究过程中完成，第二阶段则是师生共同合作分析完成，教师的板书示范实际上是给学生提供了程序化和规范化的操作方式，便于学生在第三阶段模仿和操练，展示点评活动则是为了矫正学生模式化操作可能出现的偏差，为后续的课后巩固练习打下坚实基础，以期最终达到自动化阶段。

1.6 数学反思，彰显人文内涵

教师：请同学们谈一谈本节课的学习收获。

学生15：学习了切线概念、切线斜率及切线方程求法，还有数形结合、特殊与一般、以直代曲、极限等数学思想方法等等。

教师：以直代曲与极限思想看似相对陌生，其实我们早就遇到过了，同学们能回忆起来吗？

学生16：以前曾经用圆的内接正多边形去逼近圆，从而推算圆周率π的近似值。好像还是我们中国人发明的方法呢！

教师：非常棒！此方法称为“割圆术”。“割圆术”是我国古代数学取得的辉煌成就之一，它是我国古典数学理论的奠基人之一刘徽发明的。

教师展示刘徽的相关史料与成果介绍，同时勉励同学们努力学习，为中华民族增光添彩，为人类文明做出贡献。

设计意图？：数学教学留给学生的，除了知识的传授和智慧的开启，还应包括身心的点化和人格的润泽。借助开放性问题，帮助学生解开思维的缰绳，让其真正有所思、有所悟、有所动,在这样的反思总结中，学生不仅学到了知识，掌握了方法，更重要的是荡涤了学生的心灵，培养了民族文化自信与民族未来的责任担当意识，给学生将来献身科学研究埋下一颗希望的种子。

2教学反思

2.1 在教学中融合信息技术

佛莱登塔尔提出“数学教学的核心是学生的‘再创造’”。《曲线上一点处的切线》涉及的“以直代曲”、“放大与细分”、“逼近”、“极限”等数学思想方法，对高中生来说有较大的思维难度，本节课中教师将信息技术融合在课堂教学中，通过有价值的问题链，吸引学生主动探究、让学生根据自己的体验，用自己的思维方式重新“创造”出上述思想方法。具体表现在：一是借助网络资源库与搜索引擎功能，给“以直代曲”的观念创设真实、具体、富有价值的问题情境，给新的思想方法的发现历程提供丰富的数学史料；二是利用电子白板、实物投影等现代教学设备构建一个互动式、探究式学习场域，以递进式问题链：变量变化的快与慢的几何表示”→“曲线的陡峭程度”→“曲线的割线，展开探究，在探究活动中体会“以直代曲”、“放大与细分”的数学思想；三是在PPT、Excel、几何画板等软件技术支持下，以动画演示“割线逼近切线”的动态过程，以数据支撑“有限逼近无限”的合理性，将难以理解的“逼近”、“极限”等抽象的数学思想变得直观可视可接纳。

“注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性”是《普通高中数学课程标准（2017年版）》倡导的一个重要理念。信息技术与数学课程的深度融合，丰富多彩的教学资源、便捷智能的现代化教学终端、功能强大的专业数学教学工具和教学软件固然重要，但更加重要的是使用信息技术时要展示数学知识的形成过程、要引导学生自己发现数学、要指向高阶思维能力的培养，要帮助学生形成创造性分析、较快形成解决思路、迅速进行决策、快速整合资源解决问题的能力。

2.2 在教学中渗透数学文化

《课标（２０１７年版）》将体现数学的人文价值作为基本理念之一，课程性质中指出“数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言．数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．”^［2］微积分学的创立被恩格斯誉为17世纪数学领域的三大发现之一，其产生与发展高度体现了人类为探索真理不屈不挠、永往直前的崇高精神，体现了人们创造美好世界的精神向往，具有良好的育人价值。作为导数的入门课，《曲线上一点处的切线》所涉及的数学观点、方法、语言、思想、精神、数学史、数学与社会的联系等等共同构成了丰富的数学文化要素，在教学中需要及时渗透，进而引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值、审美价值，帮助学生形成理性思维与科学精神，以期落实立德树人根本任务，促进学生全面发展。

本节课的教学思路是：问题情境，引入观念→“概念形成，探究方法”→“概念深化，领悟思想”→“数学应用，掌握技能”→“反思小结，培养品质”。在情境引入上，选用学生喜闻乐见的素材，不仅让数学学习贴近于生活，还要让学生感悟数学的科学与应用价值；在概念形成过程中，用已有数学经验（函数的单调性、平均变化率等等）作为探究起点，在探究活动中让学生领悟到数学的发生和发展既具有“一以贯之”的风貌，又具有敢于自我突破与创新的勇气；在概念同化过程中，要使学生不知不觉地感受到学习的知识“似曾相识”（圆的切线、二次函数的切线等等），也要感受到数学家们为追求真理精益求精、锲而不舍的科学精神；在数学应用中，要让学生掌握切线方程求解的一般方法与步骤，同时也要培养学生严谨的思维习惯与良好的数学表达能力；在反思小结中，不能仅仅停留于反思知识与方法层面，更要引导学生去挖掘知识与方法的背后所蕴含的科学与人文价值，激发学生从事科学研究的兴趣，为其未来发展点燃一盏明灯。

日本教育家米山国藏说：“成功的数学教育，应当是数学的精神、思想方法深深地永远地铭刻在学生的头脑里，长久地活跃于他们日常的事务中，虽然那时，数学的知识可能已经淡忘了”。数学教学不仅仅要帮助学生掌握现代生活和学习必需的数学知识、技能、思想和方法，更要在培养人的思维能力、创新意识以及形成正确世界观方面发挥特有作用。在数学课堂上渗透数学文化，就是要让学生深刻理解理性思维的本质，让深度学习真正发生，让数学核心素养落地生根，让创新精神和实践能力的培养在教学中全面体现！

参考文献：

[1]  王芳，汪晓勤．HPM视角下“导数几何意义”的教学[J]．数学教育学报，2012，21（5）：57-60．

[2]  中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018．

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现