杨元韡例谈高中数学试题的改编式命制的策略

                本文原载《数学通讯》（教师刊）2019.3

杨元韡，任教于江苏省常州高级中学，中小学高级教师，常州市骨干教师，常州市高中数学命题研究指导小组成员。主持的常州市级课题《基于苏教版高中数学教材的审美教学的实践研究》已结题，参与多项省，市级课题研究。在《数学通报》，《数学通讯》，《数学教学》等杂志上发表论文三十余篇。

例谈高中数学试题的改编式命制的策略

杨元韡

（江苏省常州高级中学  213003）

改编式命制的试题是高中数学试题重要来源.例如高考试题往往源于课本相关例题、习题，但又高于这些例题、习题.高考命题专家将课本上的一道道典型的“母题”，经过嫁接、变形、拓展等手段独具匠心地改编成一道道立意深刻又不落俗套的高考试题，让人耳目一新！

在高中数学学习过程中，尤其在高三复习中，一些典型的试题，学生因为种种原因答错或不能作答.针对这种情况，近些年我校数学组做了一些尝试，其中之一为讲评原题之后，教师遴选一些学生错误率高的典型试题，经过改编再次让学生练习巩固.学生面对的不再是那些乏味的陈题，而是一道道形异质同的新问题，有新的表述方式，甚至有新的情境，有新鲜感，因此学生很少会出现乏味或抵触的情绪.实践表明，长期坚持这种尝试是有效果的.一段时间训练之后，学生基本上可以了解原先试题及改编题之间的联系，对原题有更深刻的理解，甚至能举一反三.这种尝试对教师提出了相当高的要求，即要具备一定的改编试题的能力，能够推陈出新.

笔者有多年改编试题的经历，也为本市考试命制试卷或提供不少试题，有一些粗浅的心得体会.下面与大家分享一下改编试题的一些策略.当然限于笔者水平，还有很多不足之处，敬请批评指正.

策略1   数据改编初体验——渐入佳境

数据改编是数学试题改编最为简单和初级的方式，这种方式得到的改编题总会有原题的“影子”.但数据改编却是初学改编的教师最容易掌握的一种改编方式.数据改编有时也有一些技巧，若掌握这些技巧能够帮助教师很快地改编出一些新的试题.笔者给出三种常见技巧，分别为：数据的整体代换、等比例放缩、给定背景及结论数据反推条件数据.下面各举一例加以说明.

[案例1]

策略2   表达方式的更换——改头换面

许多数学条件有若干种不同的表达形式，学生如果能合理地“翻译”把这些表达形式，转化成最简单的最本质的形式，将更有利于问题的解决．这种“翻译”的能力其实也属于转化与化归的范畴．教师可用更换表达方式的形式改编试题，让试题更加新颖、更能测试学生转化与化归能力．

[案例4]

说明：这两个试题本质完全相同，仅仅是表达形式不同．原题是采用不等式恒成立的方式“代数”地表达，而改编题则采用图象无公共点的方式“几何”地表达，形异但质同．学生解决时，往往需要结合图象把“无公共点”翻译成不等式恒成立问题，再转化成利用基本不等式求最值问题，在巩固原题的解法的基础上，进一步考察了转化与化归的能力．

策略3   条件与结论置换——反之可否

数学中不少命题及其逆命题都是真命题．教师可以置换一些试题的条件与结论，往往可以得新的试题．若一个命题是真命题，但其逆命题是假命题时，教师还可以命制探索性试题．有时只需要置换条件的一部分与结论，也可以得到新的试题．用这种方式得到的新试题，往往具有一定的启发性．利用这样的试题训练学生，有利于培养学生初步的科研探索精神，学生在得到一个真命题后，下意识地会判断该命题的逆命题的真假，形成主动探究的意识．

[案例5]

策略4   知识交汇处嫁接——浑然一体

在知识的交汇处命制试题也是试题命制的常见方法，这样命制的试题能考察多个知识点，能起到一题多用的效果．用这样的试题训练学生，有利于学生查找知识或技能的盲点，进一步形成知识网络．在知识交汇处嫁接命制试题，很关键的是需要在衔接和表达上下功夫，使得试题叙述自然，浑然一体，应尽力避免给人造成矫揉造作、生拼硬凑的感觉．

[案例6]

策略5   对应思想的应用——寻求对应

高中数学中函数和映射这两个概念都体现了对应的思想．有时，某些一一对应的思想也可以用于改编试题．下面两个例子根据相应的原题，分别利用了单调函数的一一对应性，矩阵变换的一一对应性来命制改编题．

[案例8]

策略7   经典结论的启发——根深叶茂

高中数学中有不少试题是受到经典结论的启发命制的．有些经典结论甚至是世界名题，就以江苏省高考数学试卷为例，有以费马点为背景的试题（2008年第17题），有以阿波罗尼斯圆为背景的试题（2008年第13题，2013年第17题），有以极点与极线为背景的试题（2010年第18题），其他省份的高考试卷和全国高考试卷也不乏这样的试题^[2]．经典结论就是这些试题的“题根”，根深叶方茂！

有一些试题，虽不是源于世界名题，而是源于比较经典的结论，但也韵味十足．例如，江苏省2012年高考数学试卷的数列压轴题是基于以下经典结论命制的：正实数作为上下界的等比数列的公比必为1．笔者利用同样的结论，命制了前面的案例5的改编题2及以下试题．

[案例11]

[结语]

以上，笔者给出了改编式命制试题的七种不同的策略，但改编式命制试题的策略远远不止这七种，所以它仍然是一个值得不断深入探讨的话题．不管使用何种策略命制试题，以下的几点命制要求是不言而喻的：第一，语言表述科学严谨，简洁明了；第二，条件设置恰到好处，不多不少；第三，多个问题层层递进，无声帮助．事实上，不仅仅限于高考命题专家，广大一线教师同样也是试题命制的生力军．只要命题专家和一线教师一起努力，相信好的试题会像有源头的活水一样，带着灵动的数学思想，不断地涌出．

参考文献:

[1]单墫主编．苏教版数学必修4[M]，第4版．南京：江苏凤凰教育出版社，2016：116．

[2]方亚斌著．一题一课源于世界数学名题的高考题赏析(第1版)[M]．杭州：浙江大学出版社，2018：1-6,26-33,81-86．

王志和：祖暅原理专题复习 （上）

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