俞昕：摭谈数学教学中学生核心素养的培养

原文发表于《中学数学》2018年第6期

       开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

       文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

     专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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      俞昕，任教于杭州高级中学钱江校区。浙江省教坛新秀、浙江省教科研先进个人、湖州市教学明星，曾荣获浙江省高中数学教学论坛一等奖、浙江省高中数学教学设计一等奖、连续四年荣获浙江省高中数学教学论文评比一等奖、浙江省高中数学说课评比二等奖。多次荣获湖州市各项教学比武、教学设计、教学论文等评比一等奖。连续三项市级规划课题荣获湖州市课题研究成果一等奖。在国家级和省级核心刊物上发表论文200余篇，其中多篇科研论文被转载于中国人民大学书报资料中心。

1问题提出

高考改革必然伴随着教学安排、教学模式等的改革，由于选考学考的高考模式，高一就已经开设了十门课，导致了数学课时的减少，但事实上各地区的教学安排并没有因为课时的锐减而有大的改变，所以就在一定程度上造成了课时的紧张、内容的紧缩、赶进度、重结果轻过程等现象。这些现象造成的结果与新课改的初衷是相悖的，所以如何契合高考改革与课程改革的步伐是值得我们一线教师探索与思考的问题。随着时代的变迁，人们的能力观在逐渐发展，由传统基础教育目标而发展起来的能力标准的局限性渐渐得以暴露。传统的能力概念已经不再适用，无法代表新时期的教育目标，这也就进一步催生了“素养”概念的产生。为了把握基础教育的“基础”这一根本，素养中的“关键素养”、“核心素养”得以强调和凸显。 数学核心素养一般分为六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。在数学教学中渗透与培养学生的数学核心素养应该成为现今日常教学衔接高考的重要突破口。笔者将反思高考改革以后的教学现状，并结合数学核心素养谈谈自己的一些想法。
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培养学生数学核心素养策略探讨
2.1  在整合数学中追求数学的统一性

新课改以来各种数学教材的一个共同特点，即是认为应当完全打破关于代数（算术）、几何等学科分支的传统区分，从而事实上也就可以被看成对于“整合数学”的直接追求。例如，德国著名数学家克莱因的著名论点：“几何学研究的是（各种）变换群之下的不变量”，以及法国布尔巴基学派关于“数学结构”的深入研究，等等。郑毓信先生指出：数学中不同学科分支的整合决非易事，更不应将此简单地等同于相关内容在形式上的简单组合；恰恰相反，最为重要的即是，能否通过深入的分析和研究揭示出相关对象的共同本质。例如，现行各种教材中所谓的“代数与几何的整合”，事实上都只是对这两门学科的相关内容进行了混合编排，但就其具体安排而言则又应当说仍然保持了相对的独立性，从而也就只是形式上的简单组合。因此，笔者认为真正意义上的“整合数学”应该是从内容教学上实现整合。

比如在余弦定理的教学中，我们常常提及余弦定理是勾股定理的一般形式，勾股定理是余弦定理的特殊形式。事实上，我们可以从更深层次来挖掘教材内容，从一个侧面让学生感受整合数学。勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平和的和再减去这两边与它们夹角的余弦的积的<span 2倍，即三度平方和定理：长方体的一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和，即

2.2 引导学生通过数学学会思维

郑毓信先生认为：相对于“帮助学生学会数学地思维”而言，“通过数学学会思维”应当说是更为合适的一个主张。所谓“通过数学学会思维”，主要地并非是指“想得更快”、又或是如何能够“与众不同”，而是指“想得更清晰、更全面、更深、更合理”。这正是不少数学家的切身体会：数学学习对于思维发展的主要作用之一就是十分有利于人们学会“长时间的思考”。由此可见，在教学中就不仅唯一地关注学生“即兴思维”能力的提高，而是应当更加重视如何能够帮助他们逐步养成“长时间思考”的习惯与能力。2002年诺贝尔经济学奖得主康纳曼有一部名著《快思慢想》，赋予“快思”与“慢想”新的涵义。

2.3帮助学生寻找数学真问题

文[3]指出：目前我们教育领域最热的话题是公民的核心素养，而这一核心素养中的数学素养，首当其冲的是“联系”，即知道书本上的数学与现实生活中的数学之间的联系，这是现有国际上一切关于数学素养问题讨论的基本共识。之所以如此，是因为对数学真正的理解，只能在“联系”之路上实现，否则只能到达了解或知道的层面；对数学应用的需求，只能在“联系”之路上产生，否则只能是套题型、凑条件的花拳绣腿。没有“联系”，求知的欲望以及乐学、好学的源头几乎无从谈起，更进一步，没有了“联系”，从哪里抽象、拿什么建模、凭什么推理，换言之，我们津津乐道的那些数学素养几乎全都断了由头，差不多可以免谈。而“联系”的两头，一头是数学，另一头是真实的世界、是现实生活，而在考试教育、题型教育的阴霾中，学生们有这样的机会吗？在没有“联系”的氛围里，奢谈素养，只能是又一场夸夸其谈，“素养”可能会像“核心概念”那样成了又一片过眼云烟。

基于以上的观点，我们应该让学生多些机会接触数学中的真问题，而不是总是在充斥着考试味道的题海中挣扎。数学真问题不仅仅是指如同文[3]中所说的现实问题，也应该包括哪些能积极引发学生思考的探索性问题与开放性问题。比如在二面角教学中，创设问题情境：这是一座我们即将要攀登的山峰，我们就称它为“胜利峰”（数学抽象为如图1所示的数学模型）。

山坡上有一条直道CD，它和坡角的水平线AB的夹角是，沿这条路上山，行走100米后我们升高多少米？学生们纷纷提出质疑：这个问题没法解，缺少条件！于是引领学生进入新知“二面角平面角”的教学（教学过程省略）。之后再回到此问题情境：将条件补全，比如我们用某种测量仪器或通过某部门了解到“胜利峰”的倾斜度（即二面角的平面角）为，那么这个问题如何解决？解决此问题的关键是什么？这里还有值得探究的新问题吗？笔者参与到学生的合作学习中去，这时整个课堂气氛达到了高潮，学生解题的积极性已经被充分的调动起来。在之后的问题解决过程中，立体几何中的经典图形就会显现出来（如图2所示）。

笔者继续引导学生将这个登山问题再进行设计和改编，使之成为新的问题。学生们即兴编出了一些问题：（1）假设“胜利峰”的坡度是，山坡上有一条直道CD，它和坡角的水平线AB的夹角是，沿这条路上山，要使我们上升100米，则我们要行走多少米？（2）假设“胜利峰”它的坡度是，山坡上有一条直道CD，它和坡角的水平线AB的夹角是，沿这条路上山，要使我们上升100米，则我们行走的路线与地面所成角是多少？等等。

又如，在高中概率统计教学中，往往会缺乏“数据分析观念”，而将概率统计教成算术。诸如“一个袋子里有5个球，4个白球，1个红球。从中随机摸出一个，求摸到白球的概率”之类的问题，这类问题概率统计的味道很淡，对于培养学生“数据分析观念”没有多大作用。但如果这样教：告诉学生袋子里有很多白球和红球，让学生有放回重复摸多次，摸到一定程度时，学生发现摸出白球的次数比摸出红球的次数多，由此推断袋子里白球可能比红球多。进一步，能推断出袋子里白球和红球的比例大概是多少。再告诉球的总数，能够估计出白球和红球的个数，这才是统计的过程。所以在概率统计教学中一定要关注史宁中教授提到的“数据分析观念”三方面：第一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息；第二，了解对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；第三，通过数据分析体验随机性。这里的数据随机性主要有两层涵义：一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。章建跃先生认为：凡是涉及思想性、观念性的东西，都是需要长期的、潜移默化的过程才能真正有所领悟的。而且，也只有重视和加强数学的这些“软实力”，才能把数学的育人功能真正发挥出来，才能让学生学真正的数学。3写在最后

数学核心素养的培养对于我们一线教师来说是一项长期而艰巨的工作，尤其是随着高考体制的改革，数学取消了文理分科，核心素养问题更显关键。从目前高考来看，通过大量做题就可以考好的时代已经过去了，高考越来越以考查核心问题、学生数学素养为主。所以无论从短期的高考目标，还是长期的数学素养培养目标来看，我们势必要不断反思自己的教学。“如果一节课的内容太多，承载的任务太重，学生上课时候很忙碌，思考力就很难得到提升，学习力会越来越弱。若课堂只聚焦几个核心问题，让学生深入思考，看上去学得少、学得慢，但思考的方式、方法丰富了，思考力便能提高，思考力就会越来越强。”这是来自语文老师的论述，但对于数学教学来说，显然也是适用的。笔者近期在一些文献上看到“留白”这一字眼，如果选择合适的内容并加以恰当的使用，“留白”不妨可以在数学教学中一用。事实上，笔者理解的“留白”是在数学课堂内外通过给学生创设核心问题（真问题），让学生保持持续性思考探究问题的热情，从而深刻体会数学概念方法的本质性、整合数学的统一性。

✎ 参考文献 

[1]郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J]．数学教育学报，2016，25（3）

[2]郑毓信.“数学与思维”之深思.数学教育学报，2015，24（1）

[3] 孙晓天.研究现实世界的真问题——记第十届东盟国家中学生数学学科竞赛. 数学通报，2016，55（4）

[4] 章建跃.让学生学真正的数学.中小学数学，2012，9

[5] 王淼生.数学百题，精彩千解.福建教育出版社，2009，9

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