开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。
文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。
在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。
专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。
近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。
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孔德鹏，中学一级教师，2012年南师大硕士研究生毕业，就职于南京航空航天大学附属高级中学，追求自然而然、激励激趣、体验感悟的深度教学过程。第九届秦淮区数学学科教学带头人，曾获得南京市青年教师基本功比赛一等奖，现主持市规划课题一项，参与省市级课题多项。2017年以来，在《数学通报》《中国数学教育》《中小学数学》《中学数学杂志》《中学数学月刊》《中学教研》《教育研究与评论》等杂志发表教育教学文章十几篇。
摘要 ：以数学核心素养为导向，整体把握“函数的零点”内容进行主题教学，注重教学要素分析与数学核心素养的析出，构建自然连贯的教学过程。关键词 ：素养导向；函数零点；主题教学
2018年10月16日至10月19日江苏省中小学教学研究室在泰州市举办了“普通高中课程标准培训”活动，笔者受邀开设了一节基于数学核心素养的示范课“函数的零点”，受到了与会专家和同行的好评。本文通过对“函数零点”中数学核心素养的深入研讨，给出了“函数的零点”这一节课的教学流程，并提出了“追求素养导向的主题教学过程”的一些思考。
函数零点是沟通函数与方程的天然桥梁，其根本价值在于向学生展示用函数的思想统领代数问题，把以往的还有即将要学的中学代数问题都纳入到函数的思想下[1]。同时函数零点及零点存在定理是二分法求方程近似解的基础工具，也为研究连续函数性质、导数甚至不动点问题提供了广阔的视角。本课是《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称《标准》）必修部分主题二“函数”的内容，属于函数应用，是“二分法与求方程近似解”的第一课时。《标准》指出，函数应用不仅体现在用函数解决数学问题，更重要的是用函数解决实际问题[2]。教学内容包括：结合学过的函数图像，了解函数零点与方程的关系；结合具体连续函数及其图像特点，了解函数零点存在定理。“学业要求”是，会用函数观点认识方程，并运用函数性质求方程的近似解[2]。笔者对苏教版、人教A版、湘教版、北师大版教材进行了对比分析，重点研读四个版本教材的问题情境，分析整理各自特点：人教A版通过二次函数与三次函数说明函数与方程的联系；北师大版从判断x2－x－6=0解的存在切入函数零点；湘教版是归纳实系数一元二次方程的根；苏教版是提出大问题“求出方程lgx=3－x的近似解”再转到研究二次函数上。相比较而言，苏教版教材更加注重提出问题，分析问题和解决问题，且知识之间过渡自然。当然，四个版本的教材都是以学生熟悉的二次函数为学习素材，均符合新课标要求，且有着各自的优点。学生在初中已经积累了解方程的相关经验，掌握了一元一次方程和一元二次方程的解法。通过研究初中教材我们发现，学生在学习一元一次方程和一元二次方程时，已经初步体会了用函数的思想研究方程问题。基于学生的原有认知，函数零点概念就是一层“窗户纸”，一捅就破，容易被学生掌握。本节课的重难点应该是零点存在定理。本节课注重教师启发、学生探究，采用文化熏陶、问题驱动、过程展示等教学策略。让学生在经历探究一元二次方程与二次函数关系的过程中，在从“特殊到一般”的研究问题的思维过程中，建构函数零点的概念，体会用函数的视角看方程、研究方程，进而提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象等素养；
通过二次函数的研究，让学生经历由形到数、从特殊到一般的研究过程，通过直观感知、逻辑辨析获得函数零点判断的代数表征，进一步提升学生的逻辑推理、直观想象、数学建模的素养。师：同学们， 在社会生产、科学研究、技术应用的过程中，很多问题都可以转化为解方程的问题。在数学史上，人们对方程的研究也经历了相当漫长的岁月（投影PPT）。在16世纪，意大利数学家卡尔达诺（图1）和他的学生费拉里分别给出了三次方程和第四次方程的代数解，并把研究成果发表在《大术》中，但是他们对于高于四次的方程并没有实质性的研究成果，直到1824年，挪威数学家阿贝尔才成功地证明了高于四次的方程没有公式解.设计意图 从HPM视角引入解方程问题，让学生感受人类创造发明的智慧与艰辛。了解解方程在科学技术上的应用，突出这节课研究解方程问题的必要性与重要性。师：事实上，还有很多方程的求解是非常困难的，比如方程lgx=3－x的解的情况。（补充：研究方程解的要考虑这个方程有没有解？有几个解？能否求出解的值？）生1：这个方程有一个解，分别画出y=lgx与y=3－x图像发现有一个交点（图2）。 师：好！问一个问题，凭什么图像有一个交点就对应着方程有一个解？生2：我认为在交点处，它们的x值相等，y值也相等。所以方程的解就对应着它们的交点。设计意图 启发学生提出问题，让学生自己想到可以用（两个）函数图像的交点来描述方程解的情况。为这节课凸显用函数的思想研究方程作铺垫。师：我发现大家不是直接去解方程，而是将解决不了的方程问题转化成函数问题，即用函数思想研究方程问题，这种处理问题的方法正是本节课要学的内容——函数与方程。下面，我们就从大家熟悉的一元二次方程出发，来进一步感悟这种研究问题的方法， 请大家用函数来研究一下x2－2x－3=0解的情况。生3：(投影，图3)画出二次函数y= x2－2x－3图像，发现与x轴有两个不同的交点。师：交点属于几何范畴，方程的解是代数问题，你能再解释的精确些吗？师：非常好！同学们从函数值、函数图像的角度研究了方程问题。我们把二次函数y= x2－2x－3函数值取0时对应的自变量x称为它的零点。这是一个具体的二次函数。同学们能将这个问题一般化吗？换句话说，二次函数 y=ax2+bx+c（a>0）的零点与二次函数图像、二次方程ax2+bx+c=0三者具有怎样的关系（学生思考，讨论）？生4：方程的解其实是对应函数的图像与x轴的交点，且是交点的横坐标。生4：有两个交点对应两个解，两个零点。没有交点就是没有零点。生5：当判别式△>0时候，有两个解，就有两个零点；当判别式△=0时候，有一个解，就有一个零点；当判别式△=0时候，没有解，就没有零点。师：刚才通过两个例子发现函数与方程有着密切关系，这些值得我们关注与研究。你能给出一般函数零点的概念吗？生6：把使得函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数的零点（投影）。师：很好！方程、函数以及函数图像三者之间有着紧密的关系：(板书) f(x)=0有实数根y=f(x)图像与x轴有交点等价于y=f(x)有零点。设计意图 （1）重点培养学生分析问题、解决问题的能力：遇到复杂问题怎么办？——回顾反思，寻找简单问题；熟悉什么方程？——一元二次方程，自然的过渡到研究二次方程与函数的关系上。（2）培养学生的数学抽象、数学建模、直观想像——从具体二次函数零点到一般的二次函数零点，——更一般的函数零点，层层递进，深化理解，渗透数学概括与表征。（2）判断函数f(x)在区间(2,3)上是否存在零点。生7：利用判别式△=4+4=8>0，方程有两个不同的解，即函数f(x)有两个不同的零点。生8：利用求根公式得到实数根,，所以f(x)有两个不同的零点。师：不解方程能判断函数零点吗？从函数图像角度可行吗？生9：二次函数f(x)= x2－2x－1=(x－1)2－2，最小值是－2，又开口向上，所以有两个零点。生10：求出函数的零点分别是,，因为2<<3，所以函数f(x)在区间(2,3)内存在一个零点。生11：结合二次函数图像分析，函数图像穿过了零点，函数值异号。生12：因为f(2)=－1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图像在（2,3）内一定穿过了x轴，即为函数在区间（2,3）内存在一个零点。师：好！从图形上分析，函数值从负到正，图像穿过零点，用代数刻画。再想想在左边区间（－1,0）内，你有什么发现？生13：f(－1)=2>0，f(0)=－1<0，二次函数图像在区间（－1,0）穿过了x轴，所以在区间（－1,0）上有一个零点。设计意图 从熟悉的二次函数入手，体会用新方法解决旧问题的过程，深化概念理解，突出函数与方程的关系。第一小问是启发学生观察函数的图像，从“形”的角度寻找“数”的刻画，为研究第二小问打基础、作铺垫。第二问是对第一问的深化延伸，研究函数在某一具体区间上的零点存在问题，体现了数学研究从粗泛到精细的过程。本例题的设置为学生自主探究零点存在定理作了思想方法上的铺垫与数学基本活动的积累。生14：取函数的两个（区间）端点，判断函数在端点处的函数值符号。 师：给个端点a，b，计算f(a)和f(b)的符号，是这样吧？生15：如果异号就意味着存在零点，同号就没有零点。生16：板书画图（图4）。如果以刚才的二次函数为例的话，取a，b分别在此函数的两个零点的左侧和右侧的值，满足f(a)· f(b)>0，但是这个函数是有零点的。师：这个特例可以看作是有零点，但是不一定有f(a)·f(b)<0。再来看刚才第一个结论：f(a)·f(b)<0能够推出存在零点。哪个地方能够完善？在什么范围上成立?师：那就是闭区间[a，b]喽。还有吗？如果能够存在零点，能够精确一点指出零点的范围吗？师：我们来梳理一下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上有定义，且f(a)·f(b)<< span="">0，那么函数f(x)在区间(a,b)内存在零点。大家觉得有没有问题？板书：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上有定义，且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在(a,b)上存在零点。 生18：到黑板画图5。像这样的函数，图像是断开的，虽然满足f(a)·f(b)<0， 师：这样分析下来，图像不间断是个必须的条件。重新整理一下这个表述：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上有定义，图像是不间断的，且f(a)·f(b)<0，那么f(x)在（a,b）上存在零点。这样我们就获得了判断零点存在的方法，称之为零点存在定理。但是我们是归纳出来的，需要严格的证明。反过来，如果函数有零点，这个条件f(a)·f(b)<0一定成立吗？哦，不是。刚才我们的同学已经举出反例了。设计意图 开启判断零点的探究过程。结合例题1的实践过程，让学生提出问题“满足f(a)f(b)<0就有零点”，通过教师的启发与追问引导学生思辨完善条件，要加上“图像不间断”，斟酌区间的开闭，经历抽象概括、逻辑辨析、精致表征的过程，发展直观想像、数学建模、逻辑推理等数学素养。师：对于这个零点存在定理，你有什么疑惑或者问题吗？生19：如果一个函数在区间上（闭区间[a，b]）有零点的话，它的最大值和最小值乘级一定小于零。师：这是你的认识，很好！除此以外，我们自然的要问，函数有零点的话有几个呢？生20：上黑板画图（图6）。可能一个，两个，也可能很多个零点。
师：很有想像力嘛，有点像“脑电波”呀！（师生笑）好，下面请同学们做一下这个例题。设计意图 获得零点存在定理后再进行定理思辨，从“有几个零点？”、“有零点就一定是f(a)f(b)<0？”等角度深化对定理的认识。例2 已知函数f(x)= x3+x+1。求证：函数f(x)在区间（－2，0）内存在零点。生21：因为f(－2)=－9<0, f(0)=1>0, 且f(x)图像在区间[－2，0]上是不间断的，所以函数f(x)在区间（－2，0）内有零点。生22：只有一个，因为f(x)= x3+x+1在R上是单调递增的函数。生23：算函数在x=-1的函数值, f(－1)=1>0, 而f(－2)=－9<0，所以零点在区间(－2, －1)上，离－2近。设计意图 考察学生对零点存在定理的直接运用。教师的延伸追问——零点离哪个区间端点近，启发学生思考，为下一节用二分法求方程近似解作过渡，起到承上启下的作用。生26：用函数的思想研究方程，可以把方程、函数联系起来。师：非常好，同学们总结的很到位！学完了这节课，同学的眼光就“高大上”了，学了这么多年的方程一下子就解决了，只要研究函数的零点就可以了。同时，从函数零点存在定理能够看出，可以将函数零点控制在一个区间内，这是不是启示我们可以求方程的近似解？好，下节课再研究。设计意图 课堂总结要注重学法指导与习惯培养，及时引导学生反思回顾、总结提升，从知识、方法、思想等角度开展，深化认识。上述教学过程是基于数学核心素养进行的主题教学活动，着力提升学生关键能力与必备品格。注重让学生自然的思考，经历从特殊到一般、从直观到抽象、从粗泛到精细的数学思维过程，不断渗透科学研究的一般过程和一般方法。一是比较不同版本教材的内容安排，分析各自特点。教学过程要体现“前后一致逻辑连贯”的思想，就要设计恰当的问题情境。比较而言，苏教版教材给出了本节课的问题起点“如何利用函数图像求0.84x=0.5的近似解？利用什么方法可以求出方程lgx=3－x的近似解？”——这正是启发学生提出问题，同时指明了用函数研究方程的方法，值得借鉴和改造。二是，整体把握教材，从研究二次函数零点到一般函数零点的获得；从教材例题1、例题2的解答与方法的提升到为获得零点存在定理的过程，都渗透了研究问题的“基本套路”，最后再到判断三次函数零点注重解决问题的方法。 数学基本活动经验是一种心理认知经验，在已有的经验和数学直观基础上，亲身经历，升华认识，体会归纳推理和演绎推理过程，以此建立新的经验和更高层次的理性认知。在教学过程中，教师主导，学生主体，从研究方程lgx=3－x解的情况开始，经历观察猜想、直观想象等心理活动，深刻体会用函数的思想去研究二次方程问题，从特殊到一般，二次函数零点是第一次抽像，一般函数的零点是第二次抽象。经历探寻具体二次函数零点判断方法中获得感性认知，通过数形结合、概括分析、类比归纳等过程完成零点存在定理，突出了重点，突破这一难点。这些也促成学生对归纳推理、质疑否定、寻求规律、发现本质等数学活动经验的积累，而学生也同时经历观察、猜想、检验、评价等过程，由表及里、循序渐进地将思维深入下去。教学过程中要注重启发学生思维，引导学生主动探究。立足HPM阐明解方程的意义，创设情境引出问题，启发学生提出问题——用函数的思想研究方程。浸润学法，遇到复杂问题怎么办？——回顾联想，用一个简单问题试试，立足原有认知，步步提升，经历一般化过程，生成函数零点概念，提升学生的直观想像、数学抽像等素养。例题是从判断二次函数在区间上有零点开始，经历数形结合，获得代数表征；再到一般化寻找函数零点判断之法，通过学生探究、讨论，分别就条件“f(a)f(b)<0”、“图像不间断”以及“区间的开闭”进行思辨与完善，发展学生数学建模、逻辑推理等素养。