王华民：生的创造性源于教师创新的设计* ——学习省级优秀课“弧度制”的体会与感悟

原载《中国数学教育》2020.6

       开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

       文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

     专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

       欢迎朋友们来稿！来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式。特别欢迎原创文章。只接受word版式的电子稿，文责自负。投稿邮箱：[e-mail]

王华民，男，1962.11，中学正高级教师、江苏省特级教师，无锡市首批教育名家培养对象，无锡市有突出贡献的中青年专家，江苏省高中新课改革先进个人，无锡滨湖区教研中心数学教研员。应邀到成都、长沙、郑州等地上公开课、做讲座；在一类期刊发表论文160余篇，10多篇被人大资料中心全文转载；出版专著《数学课堂局部探究的实践与思考》1本，主编书籍4本，主持多个省级课题，担任无锡市和滨湖区“王华民数学名师工作室” 导师（共五届），因成果丰硕，受邀在江苏省高中数学特级教师论坛和初中教研员培训会介绍经验。

摘要：本文是对一堂省优质课“弧度制”的过程赏析，对“弧度角”定义难点的突破，源于紧扣知识的本质，从度量的角度，提出适切、创新的问题，巧妙地从平分“周角”过渡到平分“圆周”，让学生变被动“接受”为主动“探究”，以进一步培育学生的创造力．关键词：弧度制；单位角；探究；创新创造

创新、创造是一个国家持续发展不竭的动力，面对新时代人才培养高质量的新要求，如何把创新、创造引入数学课堂，值得思考．十月结束的2019年江苏省高中数学青年教师优质课观摩与评比活动，不少选手的课堂颇具创意，刘烨烨老师尤为突出，她执教的课题是“弧度制”，作为A组的代表在颁奖大会上说课．课堂探究氛围浓厚，尤其是几位学生的创造力给听课老师留下了深刻的印象，这主要源于教师精彩、适度、富有创新的问题设计．以下与数学同行分享笔者的一些教学分析与感悟．

1过程分析

1． 通过创设情境问题，自然揭示出弧度制的必要性

因为借班上课，教师一开始展示了常州环球港美丽的摩天轮图片——一个真实情境，给人一种亲切感，能引发学生的兴趣，一下拉近了与当地学生的距离．摩天轮的旋转是生活中周期现象的模型，而三角函数的周期性是最重要的性质，可见创设情境较为合理．

接着，教师从长度单位的度量过渡到角度的度量，从现有不同的长度单位，不难猜想应该有不同的角度单位，这样的横向过渡，使得弧度制的产生比较自然．若再能出示问题：60°与sin60°能否进行相加？学生意识到六十进制的角度与十进制的实数是不能进行运算的，对学习新制的必要性更为凸显，学生将会产生自觉地行动．

2． 通过设置探究性活动，让学生体会定义的合理性

弧度制的教学难点是概念，为何这样定义1弧度角？大部分学生想不到．教师采用如下思路，实现了难点的有效突破．

本课设置了一个探究性活动，按以下步骤进行．

步骤1．基于学生已有知识，从熟悉的长度单位入手，了解当规定了单位长度，就可以利用它来度量，渗透了“单位”的思想．

步骤2．从熟悉的角度制入手，通过平分周角过渡到平分圆周．在教师的引导下，从引入射线开始，设置系列问题串，利用平分圆周的方法定义1°角，并从代数角度解释．

步骤3．类比探究用平分圆周的思想定义一个新的单位角,体会1弧度角定义的合理性．

教师提出问题：利用平分圆周的方法来定义一个新的单位角，经过思考、交流，学生定义了“1肖角（平分圆周12份）”、“1季角”（平分圆周4份），并尝试用1肖角，1季角来度量平角、周角．教师又逐步引导学生优化定义，取弧长为

、和半径r，得到1弧度角定义．

步骤4．在1弧度角定义的基础上建构一种新制——弧度制，教师简要介绍大数学家欧拉建立弧度制的数学史，之后提出问题：根据1弧度角的规定，在半径为的圆中，写出角的弧度数，给出四幅图，学生快速回答出其弧度数，得出弧度数与弧长、半径的关系式，从而完成了六十进制到十进制的转化，统一了进位制．

3．通过新旧知识的融合与对比，让学生体会弧度制的优越性

弧度制建立后，把角度制与弧度制进行互换，体现新旧制的融合，通过弧长公式和扇形的面积公式的推导，让学生对比，得出弧度制下角的运算更为方便，初步感受弧度制的优越性．另外，对于度、分、秒的混合运算，相比六十进制的角度制，用弧度制的十进制更加凸显其简洁与优越，也拓展了角在实数领域研究的范围，为三角函数后续学习做了铺垫．随着今后的进一步学习，还可以逐步体会到它在微分、积分领域计算中的简化作用．

2教学感悟

教学弧度制概念的关键是定义1弧度角，但学生很难想到“用等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度角”，想不到、不理解的问题又如何能变为学生自觉的学习行动呢？为了能使学生有意识地同化新概念，帮助他们理解，则必须开展一些认知活动．皮亚杰指出，概念教学的起步均是在已有知识的基础上进行的，如果对学生已有认知结构稍加变化，再引入新的概念，则有利于新概念的形成，并能明确和原概念的区别与联系．章建跃先生的理解数学、理解学生和理解教学，为我们的教学及评价指明了方向．

1.  梳理知识的脉络，从平分“周角”到平分“圆周”——另辟蹊径

理解数学，要关注知识的前后联系，遵循知识发生、发展的规律，梳理好知识的脉络．弧度制的建立经历了上千年的发展历史，短短的一节课如何让学生经历概念的建立过程？本节课另辟蹊径，通过巧妙、自然地引入射线，从平分“周角”过渡到平分“圆周，其路线图：平分周角——引入射线——平分圆周360份——类比平分圆周12份，4份…这是借鉴古巴比伦人的做法，正是教师的这种独具匠心地引导，才让学生迸发出创造力．

2．紧扣知识的本质，从学会“操作”到学会“创造”——渗透“单位”

理解数学，要紧扣知识的本质．弧度制其实是一种“度量”，而“度量”的基础是“单位”，因此，本节课抓住了“度量”单位，有助于学生深度理解弧度制概念．理解学生是教学的出发点，从学情分析，学生仅停留在能说说度量的单位有哪些，用尺或量角器度量长度与角的大小，这是对已有知识“操作”的过程，但不是“创造”的过程，他们不清楚“度量”的含义．教师适时展现了数学史（古巴比伦、欧拉），以弧度制的概念为载体，引导学生分析度量的过程，得出“定义单位角”和“用单位角度量其它角”，让学生经历了一次“度量”的完整过程，学生学会的不仅是定义1肖角，1季角，1弧度角的方法，它的研究方式可以迁移到任何一个单位（质量、长度、体积…）的制定，这里既渗透了度量单位的思想，具有一般方法论的意义，还教会学生学习和思考，这也是一种思路的创新．

3．遵循教学的规律，变被动“接受”为主动“探究”——创新问题

在理解数学、理解学生的基础上还要理解教学，它是指要遵循数学教学的规律，采用科学、合理的教学方式．如何把上述创新想法付诸于实践，需要一个合适载体．若直接告知，被动接受，则既不利于有效教学，更无益于学生思维的发展．本节课教师通过精心设置探究活动，有步骤的展开，促进学生主动学习，这是新课标积极倡导的理念．而探究活动往往要以问题驱动，课堂上最让听者眼前一亮的是学生发现、发明了“1肖角”、“1季角”，激发了学生的创造性和积极情态．究其原因，主要是源于教师适切的问题设计，“能否通过平分圆周的方法定义1°角的大小？”“能否利用平分圆周的方法来定义一个新的单位角？”“这样定义对圆的大小是否有要求？”“还有其它的方式定义单位角吗？”…，这些问题串进入学生的最近发展区，学生在积极思考、探究，亲身经历了“1弧度角定义”和弧度制的生成过程．本课的引导性探究过程，既有尝试、猜想，也有简单的代数推理，验证结论，注重了理性思维，有利于培养学生的逻辑推理素养，有利于培养学生发现、提出问题的能力．

当然，创新问题设计后，也需合理引导，教者是一名女教师，循循善诱，不论学生回答对错，都微笑的鼓励、诚恳的指出，以学定教，合理引导也是促成学生创造力的不可或缺的因素．

4．切合学生的实际，从提供“素材”到生成“创造”——落实培育

在数学课堂如何培育学生的创造力？透过本节课，结合过往的教学实践，笔者觉得一方面要给学生提供创造的素材．其一，创设适合的情境，譬如创设数学文化情境，引学生思考，创设生活情境，让学生体验，创设质疑情境，促学生反思，等等，从而让学生发现问题、提出问题，引发学生创造；其二，像本课这样，提供适切、创新的问题，诱发学生课堂上的灵感生成，进而有所创造．一般而言，如问题偏难，则需适当铺垫；如问题偏易，则需增加思维，譬如改证明为先探索、判断再证明；其三，有时可以变被动解题为自主编题，促使学生迁移应用知识，这是由于学生在编题时聚精会神思考，处在兴奋状态时比较容易产生灵感、碰撞出智慧的火花，引发学生创造．但自主编题也需选择合适的内容．另一方面，要给学生提供发现、创造的机会，设置探究性活动，提供素材后给予学生独立思考的时间，通过动手操作或小组合作，通过交流碰撞，迸发创造力．本课精彩的生成，也让学生感受到发现创造的快乐．

当然本课也存在一些需要改进、完善之处，譬如，前面探究时间偏长，致小结匆忙，可以考虑减少一点“单位角的大小与半径无关”的推理；但瑕不掩瑜，本课孕育创新、创造的数学课堂，这正是我们数学教育所期盼的！同时也给我们数学教学带来不少有益的启示．

✎ 参考文献 
[1] 中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.[2]李善良.课堂是学生活动的场所[J].中国数学教育（高中版）， 2019（5）：20—22．

扫描二维码，关注公众号“文卫星数学生态课堂”

往期推荐

陈宏等：解答2019年最难导数题（浙江22题）之4条思路5种解法（待续）

王志和：祖暅原理专题复习 （上）

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现