李宽珍：指向深度学习的单元教学设计的实践与思考 ——以《向量的概念及表示》为例

   原载《中学数学》2020.5

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

       文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

     专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

       欢迎朋友们来稿！来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式。特别欢迎原创文章。只接受word版式的电子稿，文责自负。投稿邮箱：[e-mail]

李宽珍（1980—）：高级教师，现为江苏省溧水高级中学教师.平时注重教学研究，主要从事高考备考策略、解题方法与技巧和中学数学课堂教学等研究.

教科研成果：近五年，在《教学与管理》，《教学月刊》，《中学数学杂志》，《数学教学研究》，《数学通讯》，《中学数学》等专业期刊杂志发表文章50多篇.3篇文章被人大复印资料转载或索引.多篇论文在省、市论文评比中获奖；主持一个省级规划课题，三个市级规划课题和若干个区、校级课题.

指向深度学习的单元教学设计的实践与思考

——以《向量的概念及表示》为例

江苏省溧水高级中学  李宽珍  211200

摘要：课改十多年以来，教师普遍能接受新课程理念，但是教学中仍然困惑重重。其中很重要的原因就是教学内容的碎片化，不利于学生形成完整的知识链条和结构体系，从而对知识的理解和掌握停留在浅层学习上。因此在教学中提出单元教学设计，引导学生将知识迁移应用，融会贯通，以达到深度学习的目的。

关键词：深度学习 单元教学 

1 问题的提出

虽然课改十多年以来，教师们普遍能接受新课程理念，也在积极改变自己的教学方式，但是教学中仍然存在很多困惑.例如，教师认真教了，为何学生还是不能掌握？学生认真学了，为何还是不能“照葫芦画瓢”？究其原因，其中很重要的一方面就是教学内容的碎片化，学生的知识割裂，不利于形成一个完整的知识链条和结构体系，学生往往“只见树木不见森林”，对知识的理解与掌握停留在浅层学习上.而教师常常过多地关注知识与技能，拘泥于具体内容的“就课论课”，缺乏对教学整体的把握.

《普通高中数学课程标准》（2017版）提出高中数学教学要以主题教学即单元教学设计开展教学活动，将教学的视野从课时拓展到单元，从关注一节课、一节课的教学到关注更大范围（如一个单元、一章、一个主题）的教学，其重视知识的系统性、教学内容之间的衔接以及过程与方法、情感态度与价值观等更高层次教学目标的达成，教师站在更高的观点上，从整体的角度来思考教学.应南京市陈久贵名师工作室的邀请，笔者开设了一节必修四第二章的《向量的概念及表示》新授课，并尝试从单元教学的角度设计整个教学流程，期望能调动学生以往所学的知识，将知识迁移应用，融会贯通，以达到深度学习的目的.

2 学情分析

《向量的概念及表示》是必修4第二章的内容，其内容多、杂，涉及的知识点有向量的定义及表示、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量和相反向量的概念等．本章是学生在学习了集合、函数、三角函数等知识后的内容，学生对新知识的研究已有一定的方法和“研究套路”.因此，本课通过大量的实例让学生“体会知识的生成过程”，抽象出向量数学概念；根据学生在前面学习时积累的知识结构，通过类比，得到向量的知识体系，让学生勾勒出研究新事物的一般框架.在新知识的形成过程中帮助每一个学生最终相对独立地去完成向量的建构活动，培养了学生的数学核心素养---数学抽象，直观想象，严密的逻辑思维.

3 教学过程

 环节一——创设情景，揭示课题

情境1笔者是A校一位老师，到B校上课，一上课，笔者开始自我介绍.

师：同学们好！先自我介绍下，我来自A校，图片上就是我校进门时的照片（PPT上同时展示出一张A校照片），（开场白的介绍和学生拉进了距离）

师：A距离B36km远，你知道A在哪吗？为什么？

生1：不知道，因为不知道方向.

师：若只知道A在南偏东60°方向，你知道A在哪儿吗，为什么？

生2：不知道两地的距离.

师：应该如何准确表述两地位置？

生3：A在南偏东60°方向,36km处

师：很好！要描述一个位置，光有大小不行，光有方向也不行.我们在物理上把这个既有大小又有方向的量叫什么？

生4：位移.

师：很好！再看下面一个问题.

情境2  海面上有3个小岛A，B，C，如图所示.一轮船运送物资，将物资从岛C送至岛A，C、A两点相距2km,半小时后，轮船再将物资送至岛B，A、B两点相距也为2km，从岛C

力，位移，速度，加速度…既有大小又有方向的量，物理上叫矢量.

师：说的很好！对于这两个量，在数学上我们也有更形象的称呼，分别是数量和向量.今天我们就来学习向量的概念及表示.（板书课题）

设计意图：笔者通过开场白很自然地引入本节课所学课题，与学生瞬间拉进了距离，同时也为抽象出数学模型做好铺垫，新颖特别. 由于两个情景均来源于学生生活，有效地激发了学生的学习兴趣，并结合物理知识——位移得出向量的概念，使得学生对向量的本质——方向和模有了明确的感知，从而在课堂的开始就紧紧吸引学生的注意力.

环节二——师生互动，建构新知

师：根据刚才的研究，我们把现实中既有大小又有方向的量，例如位移、力，速度、加速度等进行抽象,就形成一种新的量——向量,

（板书）向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量.

师：大小体现了向量“数”的特征，方向体现了向量“形”的特征，所以说向量是集数和形于一体的量.

问题2：你能再举一些向量的例子吗？

生7:物理里的加速度，速度，力.

设计意图：引导学生用数学的眼光观察世界，通过对现实问题的抽象初步形成向量的现实模型．通过对现实世界的观察、认识走向数学的内部．

问题3：接下来我们研究向量，研究什么？按怎样的顺序研究？

学生开始窃窃私语，有的一脸茫然.

师：回忆下我们学过的集合，按照怎样的研究顺序研究的？

生8：先后研究了集合的定义，集合的表示，特殊的集合，以及集合的运算.

师：很好！这也是我们研究新概念的一般顺序.那类比这个研究顺序，你觉得我们下面该研究什么？

生9：下面再研究向量的表示方法，而后就是特殊向量以及向量的运算.

    设计意图：求同唤醒经验，类比建构方法.通过类比集合的研究顺序，来唤醒学生研究新概念的流程，并引导学生逐步理解并形成研究问题的一般过程，从而建构整章知识的研究框架.这样，避免学生对知识的一知半解，“只见树木，不见森林”.只有站在更高的角度，运用整体的视角和系统发展的眼光来看待新知识，才能切实拓展学生的思维,促进学生的深度学习．

 师：说的很好！那你觉得如何表示向量？

（引导学生回忆物理中力是怎么表示的？类比力的表示方法想向量的表示方法.）

生10：可以用带箭头的线段表示向量.

师：带箭头的线段是如何表示向量的？    

生11：线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.

师：很好！我们把这种带箭头的线段称为有向线段.那如何用数学符号来表示向量？例如，我们用线段AB来表示一条线段.

生12：线段与向量所不同的地方就是多了方向，可以加个箭头表示方向.

师：很好！为了便于统一记，这个方向我们就规定从左往右，由起点指向终点.我们把有向线段的长度来表示向量的大小，称为向量的模或长度.  

师：在数学史上，关于向量的表示也不是一蹴而就的，经历了很多年.历史上用了近2000年的时间才有了向量这个名字，到了公元前35年，古希腊学者亚里士多德开始用向量表示成力，英国科学家牛顿在1806年首先使用有向线段表示向量.（同时展示PPT）

设计意图：介绍一点向量的发展史，让学生了解一点数学文化，一方面让学生知道数学是工具，物理和数学密不可分，渗透了数学建模，培养学生的数学抽象的核心素养.

环节三——自主学习，合作交流

师：研究了向量的表示，下面要研究其中的特殊向量.向量由长度和大小组成，从模的角度看，你认为哪些向量比较特殊？（引导学生类比实数，实数中的特殊数有0和1）

生13：长度为0和长度为1的向量.

师：我们给出两个特殊向量的概念：零向量——长度为零的向量(方向任意).

单位向量——长度为 1 个单位长度的向量（方向不一定相同）.

问题4：单位向量唯一吗？在平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？

生14：不唯一，因为方向不一定.起点全部在原点的单位向量，终点轨迹是单位圆.（同时教师打开几何画板，演示起点在原点的向量，终点轨迹是单位圆）

师：刚刚我们探讨了特殊向量，那么，从方向上看，向量有哪些特殊关系呢？自己动手画画看.

（学生开始动手在纸上画向量）

生15：从方向上看，向量的方向相同或相反.

（演示平移一组平行向量至一条直线上）

师：你发现了什么？

生16：平行向量可以平移到同一条直线上去.

师：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上吗？

生：可以.

师：由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，故平行向量又称共线向量.（停顿几秒）观察平移前后的两个向量，长度和方向有何关系？

生17：大小与方向都没有变化.

师：我们把长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.

设计意图：类比初中学习的线段的表示得到向量的表示；类比实数的特殊性，自然引出特殊向量，充分体现了类比思想.由于教材里涉及的几个新概念逻辑关系零散，需要教师梳理.通过学生观察坐标方格中向量的关系，给出平行向量和相等向量的有关概念.

环节四——巩固概念，反馈矫正

师：利用刚刚学的概念解决下列问题.

练习：判断下列命题是否正确：

（1）温度有零上零下之分，“温度”一定是向量.

（2）向量的模一定是正实数.

（3）相反向量一定是共线向量.

（4）单位向量都相等.         

（5）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合.

设计意图：题目简单，学生口答，教师点评，其中点评过程中强化概念，注意特殊的零向量、单位向量，加强对新学习概念的理解和辨析，强化对数学语言的理解.

环节五——质疑答辩，运用新知

师：运用新知识解决下列问题：

设计意图 简单的试题解答激发的学习兴趣，教学环节一至四阐明了知识的来龙去脉，我们需要学哪些知识？又如何去学这些知识？顺理成章地，学生会思考：这些新知识有什么用？如何在试题中体现？通过这两个问题，能够帮助学生感悟新学习的向量在实际解题中的运用，不断加深学生对知识的理解和掌握.

环节六——探究拓展，深化概念

师：刚才我们运用新学的知识解决了一些具体的问题，看看下面的问题你能解决吗？

设计意图：一组探究拓展，通过新旧知识的对比，站在学生的“最近发展区”，激发学生学习新知识的兴趣，让学生在更高认知层次上辨析新概念，促进了学生的深度学习．

环节七——归纳整理，整体认识

师：通过本节课的学习你有什么收获？

生18：从知识上看，学习了向量的概念、向量大小和方向，还有特殊向量和向量间的特殊关系：零向量，单位向量，平行向量，相等向量，相反向量等.

从数学思想方法上看，有数形结合、分类讨论、类比思想等数学思想方法.

设计意图：本节课概念比较多，知识点零碎，因此在课堂的结尾，让学生复盘反思，对整个课堂有一个整体的认识，加深对新概念的理解和掌握.

4 教学反思

本节课作为章节起始课，在教学中尽量给学生体验向量生成的背景，以及不断地与以前的知识进行类比，整体课程在学生与已学知识的不断对比中层层递进，课堂自然流畅；针对学生的易混点、易错点设置典型例题，让学生在不断的纠错中提升. 在本课的教学设计中，借助教师创设的教学情境，结合学生已有的知识和常见的生活经验，抓住数学本质，将知识迁移应用、融会贯通，并强调理解性学习、体系化构建，拓展自身多样性数学思维，最终提升数学综合素养，获得深度学习.  

4.1 通过整体把握教学主线，构建知识的完整性促进深度学习

我们知道，数学知识的学习如同自然世界，是连贯统一的整体．其整体性不仅在内容和知识的相互衔接上有所体现，而且在相同知识内容的前后逻辑关系上有所体现.整个数学知识的内容都是以螺旋式上升的方式渗透给学生，所以在单元起始课的阶段，就要让学生建构整个单元的研究思路和整体框架，让学生感受将要学习的知识和已经学习过的知识之间的联系．我们知道，呈现在教材上的数学知识是一条教学明线．《向量的概念及表示》这一课中，教学明线就是向量的概念、向量的表示、特殊向量，向量的特殊关系，向量的运算等教学知识，教学正是围绕着这些具体的知识逐步展开，厘清概念发生发展的脉络，从“数”与“形”两个方面把握向量的研究方法．但是若仅仅关注具体知识的理解与掌握是远远不够的；隐藏在知识背后的另一条教学暗线就是以教学知识为载体，关注学生数学思维的培养，数学思想方法的渗透、数学活动经验的累积等．例如教学本节课时，由于学生在学习集合、函数时获得了一定的经验，而且对新问题研究的模式和方法也是一脉相承的，通过类比让学生再次体会数学研究方法．这样通过明暗结合的两条线进行教学，一方面，学生从明线上感受知识的生成过程，另一方面也能从宏观、整体上把握整个单元的知识内容，教会学生用整体的视角观察世界，用联系的观点和发展的眼光分析问题，这样整个单元的内容脉络清晰，一目了然．

4.2通过猜想实践结合，注重理解逻辑的连贯性 促进深度学习

掌握数学研究的基本方法是数学教学的根本目标．作为《向量》单元教学的起始课，应该在本节课的教学过程中体现研究向量的“基本套路”，通过有结构、有逻辑的教学流程，把“想数学”和“做数学”两种学习方式结合起来，帮助学生理解逻辑的连贯一致性．通过猜想，类比实数，类比线段，类比标量，向量具有类似的性质吗？这种猜想源于其在结构上的同源性，但是它们在形式上的差异性又决定了猜想的结果是未必可靠的．通过类比已学知识和新知识的异同，设计了拓展延伸，让学生通过实践演练，来验证猜想中的合理部分和不同部分，重视发挥学生的主体作用，培养学生“自主探究、合作学习”能力，注重着眼学生的终身发展.当然，要科学地建构起整个单元的知识框架，是建立在理解数学、理解教材、理解教学的基础上，并能领会单元起始课的教学价值，才能在建构知识框架的过程中培养学生的系统思维，发展学生的数学核心素养．

4.3 通过立意深远的目标达成，培养数学思维的系统性 达到深度学习

从培养人的角度来看，单元起始课在塑造发展完整“人”的方面担负着更重要的角色，其有着更深远的目标和视野．高中数学中，集合，函数，向量等都是一个系统.在这些系统中，各个单元内容之间既相互联系又不断发展，每个单元知识的研究方法都有一定的统一性.基于这样的思考，本节课的教学中，对向量的概念、表示、应用都采用了类比的方法，不仅呈现知识生长的过程和新旧知识的联系性，而且试图引导学生将这种研究方法在脑海中固化成一种研究的模式．通过梳理，让学生站在一定的高度认识向量.学习向量时获得的经验以后也可以类比到以后学习的其他新知识的研究中来．无疑，这样的学习方式利于学生数学思维的系统化，促进学生的深度学习.

单元教学设计是一种建立在一定高度上的教学设计.引导学生在学习过程中不断联系旧知识，构建前后一致、逻辑连贯的思维体系，让学生在掌握数学知识过程中不断思考.这种设计基于对知识的宏观理解；强调知识的联系和整合；强调形成学生主动类比、拓展的能力；强调已有经验的迁移等等，这也是深度学习的主要特征．

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